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Funktionen addieren und subtrahieren

Schau wie wir zwei Funktionen addieren oder subtrahieren können um eine neue Funktionen zu erzeugen.
So, wie wir Zahlen addieren und subtrahieren Zahlen können, können wir auch Funktionen addieren und subtrahieren. Zum Beispiel, wenn wir Funktionen f und g haben, können wir zwei neue Funktionen schaffen: f+g und fg.

Zwei Funktionen addieren

Beispiel

Schauen wir uns ein Beispiel an, um zu sehen, wie das funktioniert.
Gegeben, dass f(x)=x+1 und g(x)=x22x+5, finde (f+g)(x).

Lösung

Der schwierigste Teil bei der Kombination von Funktionen ist die Notation zu verstehen. Was bedeutet (f+g)(x)?
(f+g)(x) bedeutet nur die Summe von f(x) und g(x) zu bestimmen. Mathematisch bedeutet dies (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Nun wird dies ein altbekanntes Problem.
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             Definieren.=(x+1)+(x22x+5)        Substituieren.=x+1+x22x+5                Klammern entfernen.=x2x+6                                Kombinieren gleichartiger Terme.

Wir können dies auch grafisch sehen:

Die Bilder unten zeigen die Graphen von y=f(x), y=g(x) und y=(f+g)(x).
An dem ersten Graphen können wir ablesen, dass f(2)=3 und g(2)=5 ist. Aus dem zweiten Graphen ersehen wir, dass (f+g)(2)=8.
Also ist f(2)+g(2)=(f+g)(2), da 3+5=8 ist.
Jetzt versuchst du es. überzeuge dich, dass f(1)+g(1)=(f+g)(1) ist.
Berechne jeden Term.
f(1)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
g(1)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
(f+g)(1)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen.

Sei in Probleme 1 und 2 a(x)=3x25x+2 und b(x)=x2+8x10.

Aufgabe 1

Berechne (a+b)(x).

Aufgabe 2

Berechne (a+b)(1).
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Zwei Funktionen subtrahieren

Die Subtraktion zweier Funktionen funktioniert in ähnlicher Weise. Hier ist ein Beispiel:

Beispiel

p(t)=2t1 und q(t)=t24t1.
Lasst uns (qp)(t) bestimmen.

Lösung

Nochmal ist der komplizierteste Teil hier das Verständnis der Notation. Aber nach dem Durcharbeiten des Beispiels für die Addition bedeutet (qp)(t) genau das was du denkst!
Nach der Definition ist (qp)(t)=q(t)p(t). Jetzt können wir das Problem lösen.
=(qp)(t)=q(t)p(t)Definieren.=(t24t1)(2t1)Substituieren.=t24t12t+1Negatives Vorzeichen verteilen.=t26tFasse gleichartige Terme zusammen.
Also gilt (qp)(t)=t26t.

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen.

Aufgabe 3

j(n)=3n3n2+8
k(n)=8n2+3n5
Berechne (jk)(n).

Aufgabe 4

g(x)=4x27x+2
h(x)=2x5
Berechne (hg)(3).
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Eine Anwendung

Eine Universität stellt fest, dass die Zahl M der Männer und die Zahl W der Frauen, die einen Bachelor-Abschluss t Jahren seit 1980 bekommen werden, durch die Funktionen M(t)=526t beziehungsweise W(t)=474+2t modelliet werden können.
Sei N die Gesamtzahl der Studenten, in t Jahren seit 1980 einen Bachelor-Abschluss gemacht haben.
Schreibe einen Term für N(t).
N(t)=

Challenge Aufgabe

Die Graphen von y=f(x) und y=g(x) sind auf dem Raster unten dargestellt.
Welches ist der Graph von y=(f+g)(x)?
Wähle eine Lösung.

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