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Funktionen addieren und subtrahieren

Schau wie wir zwei Funktionen addieren oder subtrahieren können um eine neue Funktionen zu erzeugen.
So, wie wir Zahlen addieren und subtrahieren Zahlen können, können wir auch Funktionen addieren und subtrahieren. Zum Beispiel, wenn wir Funktionen f und g haben, können wir zwei neue Funktionen schaffen: f, plus, g und f, minus, g.

Zwei Funktionen addieren

Beispiel

Schauen wir uns ein Beispiel an, um zu sehen, wie das funktioniert.
Gegeben, dass f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5, finde left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Lösung

Der schwierigste Teil bei der Kombination von Funktionen ist die Notation zu verstehen. Was bedeutet left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis bedeutet nur die Summe von f, left parenthesis, x, right parenthesis und g, left parenthesis, x, right parenthesis zu bestimmen. Mathematisch bedeutet dies left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Nun wird dies ein altbekanntes Problem.
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             Definieren.=(x+1)+(x22x+5)        Substituieren.=x+1+x22x+5                Klammern entfernen.=x2x+6                                Kombinieren gleichartiger Terme.\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x)+g(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Definieren.}}}\\\\ &= \left(x+1\right)+\left(x^2-2x+5\right) ~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}}\\\\ &= x+1+x^2-2x+5~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Klammern entfernen.}}}\\\\ &=x^2-x+6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Kombinieren gleichartiger Terme.}}} \end{aligned}

Wir können dies auch grafisch sehen:

Die Bilder unten zeigen die Graphen von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis und y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.
An dem ersten Graphen können wir ablesen, dass f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 und g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd ist. Aus dem zweiten Graphen ersehen wir, dass left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
Also ist f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, da start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 5, end color #11accd, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 ist.
Jetzt versuchst du es. überzeuge dich, dass f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis ist.
Berechne jeden Term.
f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen.

Sei in Probleme 1 und 2 a, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 5, x, plus, 2 und b, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 8, x, minus, 10.

Aufgabe 1

Berechne left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Aufgabe 2

Berechne left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Zwei Funktionen subtrahieren

Die Subtraktion zweier Funktionen funktioniert in ähnlicher Weise. Hier ist ein Beispiel:

Beispiel

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, t, minus, 1 und q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 4, t, minus, 1.
Lasst uns left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis bestimmen.

Lösung

Nochmal ist der komplizierteste Teil hier das Verständnis der Notation. Aber nach dem Durcharbeiten des Beispiels für die Addition bedeutet left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis genau das was du denkst!
Nach der Definition ist left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, q, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis. Jetzt können wir das Problem lösen.
=(qp)(t)=q(t)p(t)Definieren.=(t24t1)(2t1)Substituieren.=t24t12t+1Negatives Vorzeichen verteilen.=t26tFasse gleichartige Terme zusammen.\begin{aligned} &\phantom{=}(q-p)(t) \\\\ &=q(t)-p(t)\quad\small{\gray{\text{Definieren.}}} \\\\ &= (-t^2-4t-1)-(2t-1)\quad\small{\gray{\text{Substituieren.}}}\\\\ &=-t^2-4t-1-2t+1\quad\small{\gray{\text{Negatives Vorzeichen verteilen.}}}\\\\ &=-t^2-6t \quad\small{\gray{\text{Fasse gleichartige Terme zusammen.}}}\end{aligned}
Also gilt left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 6, t, point

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen.

Aufgabe 3

j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, n, cubed, minus, n, squared, plus, 8
k, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 8, n, squared, plus, 3, n, minus, 5
Berechne left parenthesis, j, minus, k, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis.

Aufgabe 4

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, squared, minus, 7, x, plus, 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5
Berechne left parenthesis, h, minus, g, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Eine Anwendung

Eine Universität stellt fest, dass die Zahl M der Männer und die Zahl W der Frauen, die einen Bachelor-Abschluss t Jahren seit 1980 bekommen werden, durch die Funktionen M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 526, minus, t beziehungsweise W, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 474, plus, 2, t modelliet werden können.
Sei N die Gesamtzahl der Studenten, in t Jahren seit 1980 einen Bachelor-Abschluss gemacht haben.
Schreibe einen Term für N, left parenthesis, t, right parenthesis.
N, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

Challenge Aufgabe

Die Graphen von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis und y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis sind auf dem Raster unten dargestellt.
Welches ist der Graph von y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
Wähle eine Lösung.
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