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Mit zusammengesetzten Funktionen modellieren (Beispiel 2)

Sal modelliert die Kraftstoffmenge in einem Tank als eine Funktion der Zeit, indem er gegebene kombinierte Formeln für das Volumen als Funktion der Tiefe und der Tiefe als Funktion der Zeit verwendet. Erstellt von Sal Khan

Video-Transkript

Treibstoff wird in einen Vorratstank gepumpt. Das Volumen V des Treibstoffs im Tank ist abhängig von der Tiefe d und wird mit der Formel V(d) = 4(3d² + 5)³ dargestellt, wobei d in Metern gemessen wird. Nimm an, dass die Tiefe d des Treibstoffs von der gemessenen Zeit in Stunden abhängig ist und von der Formel d(t) = 1/√3 mal √(t-5) dargestellt wird. Das macht Sinn, wenn ich etwas in einen Vorratstank pumpe, dass die Tiefe des Treibstoff, den ich auffülle, von der Zeit abhängig ist, und das Volumen von der Tiefe abhängig ist. Benutze eine zusammengesetzte Funktion, um das Volumen des Treibstoffs im Tank als eine Funktion der Zeit darzustellen. Schreibe deine Antwort so vereinfacht wie möglich. Ich habe hier bereits die Formeln aufgeschrieben. Das ist Volumen als eine Funktion der Tiefe. Und das ist Tiefe als eine Funktion der Zeit. Wenn wir Volumen als eine Funktion der Zeit haben wollen, könnten wir V(d(t)) nehmen. Das würde mir Volumen als eine Funktion der Zeit geben. Überall wo ein d steht, sollte ich es mit diesem Ausdruck ersetzen, der aussagt, wie d in Abhängigkeit der Zeit variiert. Also mache ich das. V(d(t)) = 4 mal 3 mal d²... Anstatt d² zu schreiben, nehme ich diesen ganzen Ausdruck zum Quadrat, also 4(3 mal (1/√3 mal √(t - 5)). Wir nehmen all das zum Quadrat, dann addieren wir 5 und dann wird es hoch 3 genommen. Ich hoffe, das vereinfacht es. Ich verschiebe das mal. Jetzt rechnen wir aus, was das ergibt. Wenn wir diesen Teil zum Quadrat nehmen, haben wir 4 mal 3 mal diesen ganzen Ausdruck zum Quadrat. (1/√3)² ergibt 1/3. Die Wurzel von (√(t - 5))² ist t - 5. Und dann haben wir + 5 und nehmen alles hoch 3. 3 mal 1/3 ergibt einfach 1. Das ergibt also 4 mal (t - 5 + 5)³, was wir zu 4t³ vereinfachen können. Das setzen wir jetzt in die Funktion V(t) ein. Das ist jetzt V, es gibt uns das Volumen als eine Funktion der Zeit. Wir wissen jetzt, dass das V(t) ist. V(t) = 4t³. Das ist das Volumen als eine Funktion der Zeit. Du setzt eine Zeit ein und erhältst das Volumen. V(t) = 4t³. 4t³. Und dann gibt es einen zweiten Teil zu dieser Frage. Wie viele Kubikmeter Treibstoff befinden sich nach 2 Stunden im Tank? Runde deine Antwort auf die nächste Zehnerstelle. 2 Stunden, das bedeutet t = 2. Hier steht, dass t in Stunden gemessen wird. Wenn t = 2, welches Volumen haben wir dann? 2³ = 8. 8 mal 4 = 32. Wir überprüfen unsere Antwort und sie ist richtig.