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Video-Transkript

Jetzt, wo wir ein bisschen über die imaginäre Einheit i wissen, schauen wir mal, ob wir etwas kompliziertere Ausdrücke vereinfachen können. 2 + 3i + 7i² + 5i³ + 9i⁴. Pausiere das Video und versuche, diesen Ausdruck selbst zu vereinfachen. Wie du siehst, hat i unterschiedliche Exponenten. Das hier ist quasi i¹, hier haben wir i². Wir wissen bereits, dass i² als -1 definiert ist. Hier haben wir i³, das ist i ⋅ (-1) oder -i. Das haben wir bereits bei der Einführung der imaginären Einheit i besprochen, aber ich wiederhole es nochmal. i⁴ = i ⋅ i³, also -1 ⋅ i, und dann nochmal ⋅ i. i ⋅ i = -1. -1 ⋅ (-1) ergibt wieder 1. Wir können also den Anfang in 2 + 3i umschreiben. Genauso bei 7i². i² = -1, also ist das dasselbe wie 7 ⋅ (-1). Das ergibt also einfach -7. Und dann haben wir 5i³. i³ = -i. Also können wir das in -i umschreiben. Diesen Ausdruck hier können wir als -5i umschreiben. i⁴ = 1. Also ist das einfach 1. Und dieser ganze Ausdruck wird zu 9 vereinfacht. Wie können wir weiter vereinfachen? Wir haben einige Terme, die nicht imaginäre, sondern reelle Zahlen sind. Diese 2 ist eine reelle Zahl. -7 ist eine reelle Zahl. Und 9 ist eine reelle Zahl. Also können wir sie einfach addieren. 2 + (-7) = -5. -5 + 9 = 4. Die reellen Zahlen ergeben addiert also 4. Und jetzt haben wir diese imaginären Zahlen. 3i - 5i. Wenn du von etwas 3 hast, und dann 5 von derselben Sache davon subtrahierst, dann bleiben -2 davon übrig. Du rechnest nur mit den Koeffizienten. 3 - 5 = -2. 3i - 5i = -2i. Können wir das noch weiter vereinfachen? Nein, können wir nicht. Das hier ist eine reelle Zahl. 4 ist eine Zahl, mit der wir in unserer mathematischen Laufbahn schon oft gearbeitet haben. Und -2i ist eine imaginäre Zahl. Wir können diese 4 - 2i, diesen ganzen Ausdruck, als eine Zahl ansehen. Es ist eine Zahl mit einem reellen und einem imaginären Teil. Solche Zahlen nennen wir komplex. Es ist eine komplexe Zahl. Warum ist sie komplex? Weil sie einen reellen und einen imaginären Teil hat. Du fragst dich vielleicht, ob nicht jede reelle Zahl als eine komplexe Zahl angesehen werden kann. Wenn wir z.B. die Zahl 3 haben, kann ich dann nicht einfach die reelle Zahl 3 als 3 + 0i schreiben? Damit hättest du recht. Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl. Du könntest das hier als komplexe Zahl betrachten. Tatsächlich sind die reellen Zahlen eine Untergruppe der komplexen Zahlen. Ebenso sind imaginäre Zahlen eine Untergruppe der komplexen Zahlen. Du könntest i in den reellen Teil 0 + i umschreiben, da 0 eine reelle Zahl ist. Die imaginären Zahlen sind eine Untergruppe der komplexen Zahlen. Reelle Zahlen sind eine Untergruppe der komplexen Zahlen. Und dann haben komplexe Zahlen auch noch all die Summen und Differenzen, oder all die Zahlen mit sowohl reellen, als auch imaginären Teilen.