Lerne, was komplexe Zahlen sind und was ihr Realteil und Imaginärteil sind.
Im reellen Zahlensystem gibt es keine Lösung der Gleichung x2=1x^2=-1. In dieser Lektion werden wir ein neues Zahlensystem kennenlernen in dem die Gleichung eine Lösung hat.
Das Rückgrat dieses neuen Systems ist die Zahl ii.
i=1\Large i=\sqrt{-1}
Wenn wir Vielfache dieser imaginäre Einheit nehmen, können wir unendlich viele neue Zahlen erzeugen. Zum Beispiel: 3i3i, i5i\sqrt{5} und 12i-12i sind alle Beispiele für rein imaginären Zahlen, oder Zahlen der Form bibi, wobei bb eine reelle Zahl ungleich Null ist.
Addiert man reelle Zahlen zu diesen rein imaginäre Zahlen resultieren noch mehr Zahlen das Art 2+7i2+7i oder 32i3-\sqrt{2}i. Diese Zahlen sind weder rein imaginäre Zahlen noch reelle Zahlen. Stattdessen gehören sie der Menge der komplexen Zahlen.

Definition der komplexen Zahlen

A komplexe Zahl ist eine beliebige Zahl, die als a+bi\greenD{a}+\blueD{b}i geschrieben werden kann, wobei ii die imaginäre Einheit ist und a\greenD{a} und b\blueD{b} reelle Zahlen sind.
Der Real\greenD{\text{Real}}teil der Zahl, oder a\greenD a, ist die reelle Zahl, die zur rein imaginären Zahl addiert wird.
Der Imaginra¨\blueD{\text{Imaginär}}teil der Zahl, oder b\blueD b, ist der relle Koeffizient der rein imaginären Zahl.
Die untenstehene Tabelle zeigt Beispiele von komplexen Zahlen, in denen die Real- und Imaginärteile markiert sind. Viele Leute finden es einfacher, die Real- und Imaginärteile zu identifizieren, wenn die Zahl in Standardform geschrieben ist.
Komplexe ZahlStandardform a+bi\greenD a+\blueD b iBeschreibung der Teile
7i27i-22+7i\greenD {-2}+\blueD 7iDer Realteil ist 2\greenD{-2} und der Imaginärteil ist 7\blueD 7.
43i4-3i4+(3)i\greenD 4 + (\blueD{-3})iDer Realteil ist 4\greenD{4} und der Imaginärteil ist 3\blueD{-3}
       9i~~~~~~~9i0+9i\greenD 0+\blueD9iDer Realteil ist 0\greenD{0} und der Imaginärteil ist 9\blueD 9
    2~~~~-22+0i\greenD {-2}+\blueD0iDer Realteil ist 2\greenD{-2} und der Imaginärteil ist 0\blueD 0

Überprüfe Dein Verständnis

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Klassifizieren die komplexe Zahlen

Vielleicht hast du bemerkt, dass oben 9i9i und 2-2 als Beispiel für komplexe Zahlen gegeben wurden. Obwohl sie als rein imaginär b.z.w. reelle Zahlen klassifiziert werden können.
Schauen wir uns das genauer an und versuchen zu verstehen, wie die Zahlenmengen zusammenpassen.
9i9i ist eine rein imaginäre Zahl. Wir können diese Zahl auch als 0+9i\greenD 0+\blueD9i ausdrücken. Deshalb ist 9i9i sowohl eine rein imaginäre Zahl und eine komplexe Zahl! Tatsächlich ist jede rein imaginäre Zahl auch eine komplexe Zahl.
Ebenso ist 2-2 eine reelle Zahl. Jedoch können wir auch 2-2 als 2+0i\greenD {-2}+\blueD0i aufschreiben. Deshalb ist 2-2 ist sowohl eine reelle Zahl als auch eine komplexe Zahl! Tatsächlich ist jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl.
Im Allgemeinen werden alle von Null verschiedenen komplexe Zahlen a+bia+bi auch...
  • ...eine rein imaginäre Zahl, wenn a=0a=0 ist.
  • ...eine reell Zahl, wenn b=0b=0 ist.
Das Diagramm zeigt, wie reelle, rein imaginäre und die komplexen Zahlen Mengen zusammenpassen. Beispiele für Zahlen von jedem Typ werden gegeben.

Eine Frage zum Nachdenken

Beispiele

In der folgenden Tabelle haben wir einige Nummern als reelle, rein imaginäre und/oder komplexe Zahlen eingeordnet.
Reell(b=0)\begin{aligned}&\text{Reell}\\&(b=0)\end{aligned}Rein Imaginra¨(a=0)\begin{aligned}&\text{Rein Imaginär}\\&(a=0)\end{aligned}Komplex(a+bi)\begin{aligned}&\text{Komplex}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Beachte, dass alle Zahlen in der Tabelle komplexe Zahlen sind. Dies ist generell wahr!

Jetzt versuch du es!

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Warum sind diese Zahlen wichtig?

Warum befassen wir uns dennoch mit komplexen Zahlen? Ob Du es glaubst, oder nicht, komplexe Zahlen kommen oft zur Anwendung, zum Beispiel in der Elektrotechnik oder Quantenmechanik!
Aus rein mathematische Sicht ist es eine coole Sache, dass die komplexen Zahlen es uns erlauben alle Polynomgleichungen zu lösen.
Zum Beispiel hat die Polynomgleichung x22x+5=0x^2-2x+5=0 weder eine reelle Lösung noch rein imaginäre Lösungen. Aber sie hat zwei komplexe Lösungen: 1+2i1+2i und 12i1-2i.
Im Lange unseres Studiums der Mathematik werden, wir mehr über diese Zahlen und wo sie benutzt werden lernen.
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