Multiplikation komplexer Zahlen

Wir sollen die komplexe Zahl 1 - 3i mit der komplexen Zahl 2 + 5i multiplizieren. Die Idee dahinter ist, dass man diese komplexen Zahlen genauso wie normale Zahlen multiplizieren kann. Du musst nur daran denken, dass das keine Variable ist. Das ist die imaginäre Einheit i bzw. einfach nur i. Aber wir können das auf zwei Arten machen. Wir könnten zweimal das Distributivgesetz anwenden, was mir besser gefällt, da wir von einem grundlegenden Prinzip ausgehen. Es ist nichts Neues. Oder wir könnten die Terme einzeln miteinander multiplizieren, was du auch bereits kannst. Ich mach es auf beide Arten. Das ist einfach nur eine Zahl: 1 - 3i. Wir können sie also mit den zwei Zahlen innerhalb dieses Ausdrucks multiplizieren. Wenn wir sie mit diesem Ausdruck multiplizieren, rechnen wir 1 - 3i ⋅ 2 und 1 - 3i ⋅ 5i. Also machen wir das. Wir können das umschreiben: 2 ⋅ (1 - 3i) + 5 ⋅ (1 - 3i). Ich habe nur das Distributivgesetz angewandt. Wenn ich a ⋅ (b + c) habe, ist es nämlich dasselbe wie ab + ac. Ich habe einfach nur das a mit b und c multipliziert. Ich habe (1 - 3i) mit 2 und 5i multipliziert. Und dann kann ich das wieder tun. Jetzt habe ich 2 ⋅ (1 - 3i). Ich kann die 2 ausmultiplizieren. 2 ⋅ 1 = 2. 2 ⋅ (-3i) = -6i. Und dasselbe hier drüben. Wir haben 5i, also addieren wir, 5i ⋅ 1 = 5i. Dann müssen wir aufpassen: 5i ⋅ (-3i). 5 ⋅ (-3) = -15. Und dann rechne ich i ⋅ i. 5i ⋅ (-3i) = 5 ⋅ (-3) ⋅ i ⋅ i. 5 ⋅ (-3) = -15. Und dann haben wir i ⋅ i = i². Wir wissen, was i² ist. i² ist als -1 definiert. Wir haben also -15 ⋅ (-1). Das ergibt 15. Wir können es also in 2 - 6i + 5i + 15 umschreiben. Jetzt können wir die reellen Teile zusammenrechnen. Wir haben 2 + 15. Und wir können die imaginären Teile addieren. Da haben wir -6i und +5i. 2 + 15 = 17. Wenn ich von etwas -6 habe und dann 5 davon addiere, was kommt dabei heraus? Oder wenn ich 5 von etwas habe und dann 6 davon wegnehme, dann habe ich -1 davon. -6i + 5i = -1i oder -i. Ich habe diese beiden Ausdrücke bzw. diese beiden komplexen Zahlen also multipliziert. Ich habe sie multipliziert, indem ich einfach das Distributivgesetz zweimal angewandt habe. Du könntest die Terme auch einzeln miteinander multiplizieren. Ich zeige dir das kurz. Es geht etwas schneller. Aber es ist etwas mechanisch. Du vergisst vielleicht, warum du es überhaupt machst. Aber im Endeffekt kommt dasselbe dabei raus. Du multiplizierst jeden Teil der ersten Zahl mit jedem Teil der zweiten Zahl. Und diese Methode sorgt dafür, dass wir das auch machen. Ich schreibe den Namen der Methode, FOIL, hier an den Rand. Nur für den Fall, dass du es so gelernt hast. Bei dieser Methode multiplizierst du zuerst die ersten Zahlen. Also 1 ⋅ 2. Das F in FOIL steht für "first", also die ersten Zahlen. Danach sollen die äußeren Zahlen miteinander multipliziert werden. Also + 1 ⋅ 5i. Das O steht für "outer", also die äußeren Zahlen. Dann kommen wir zu den inneren Zahlen: -3i ⋅ 2. Das sind die inneren Zahlen. Und dann kommen die letzten Zahlen: -3i ⋅ 5i. Dafür steht das L: die "letzten" Zahlen. Dafür steht also die Abkürzung FOIL. Es ist nur eine Erinnerung daran, jeden Teil dieser Zahl mit jedem Teil dieser Zahl zu multiplizieren. Wenn wir es vereinfachen, rechnen wir 1 ⋅ 2 = 2. 1 ⋅ 5i = 5i. -3i ⋅ 2 = -6i. -3i ⋅ 5i, das haben wir bereits herausgefunden, -3i ⋅ 5i = 15, -3 ⋅ 5 = -15, aber i ⋅ i = -1, deshalb ergibt -15 ⋅ (-1) = 15. Wir addieren die reellen Teile: 2 + 15 = 17. Wir addieren die imaginären Teile: 5i - 6i = -i. Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis.