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Standardgleichung eines Kreises schreiben

Video-Transkript

Hier haben wir einen Kreis und es wurden einige Punkte definiert. Der kleine orange-rote Punkt hier ist der Mittelpunkt des Kreises, und der blaue Punkt ist ein Punkt, der sich auf dem Kreis befindet. Mit dieser Information möchte ich, dass du das Video pausierst und schaust, ob du die Kreisgleichung herausfinden kannst. Okay, arbeiten wir gemeinsam daran. Zunächst einige Überlegungen zum Mittelpunkt. Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten dieses Punktes. Die x-Koordinate ist -1 und die y-Koordinate ist 1. Der Mittelpunkt ist (-1/1) Schauen wir, was der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Strecke zwischen dem Mittelpunkt und einem Punkt auf dem Kreis. Zum Beispiel diese Strecke Die Länge dieser Strecke ist der Radius. Wie können wir diesen herausfinden? Wir können ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen und als Formel zur Berechnung der Strecke den Satz des Pythagoras verwenden. Um die Länge der Strecke zu bestimmen, also den Radius, können wir eine Änderung in x bestimmen. Wenn wir uns die Änderung in x hier anschauen, wenn wir vom Mittelpunkt zu diesem Punkt gehen, ist unsere Änderung in x. Dann können wir sagen, dass das unsere Änderung in y ist. Das ist unsere Änderung in y. Also ist unsere Änderung in x zum Quadrat plus unsere Änderung in y zum Quadrat gleich unserem Radius zum Quadrat (r²). Dies kommt vom Satz des Pythagoras. Das ist ein rechter Winkel. Und so können wir sagen, dass r² ist gleich unserer Änderung in x zum Quadrat plus unsere Änderung in y zum Quadrat Was ist nun unsere Änderung in x zum Quadrat was ist unsere Änderung in x Unsere Änderung in x , wie groß ist sie? -wenn wir vom Radius zu diesem Punkt hier gehen, ändert sich unser x von -1 zu 6. Wir können es als unser End- x minus unserem Anfangs-x betrachten. Also 6 minus (-1) ist gleich 7. Wir haben unsere Änderung in x hier ist gleich 7. Wenn wir dies als Startpunkt annehmen und dies als Endpunkt würde es -7 sein, aber wir betrachten den absoluten Betrag in der Änderung von x, und wenn du es einmal quadriert hast, wird es auf jeden Fall positiv. Unsere Änderung in x hier ist gleich 7. Und unsere Änderung in y, wir starten bei y ist gleich 1 und gehen bis zu y ist gleich -4. Also wird es -4 minus1 ist gleich -5. Also ist unsere Änderung in y gleich -5. Du kannst den Abstand hier als den absoluten Betrag der Änderung in y, der natürlich als Betrag 5 ergibt, sehen. Wenn du es einmal quadrierst, verschwindet das negative Vorzeichen. Und so kann man es zusammenfassen auf 7² also die Änderung in x zum Quadrat ist 49. Änderung in y zum Quadrat ist (-5)² gleich 25. So erhalten wir r², was r²=49+25 entspricht. Was ergibt 49 plus 25? Das ergibt 74. r" ist also gleich 74. Habe ich es richtig gemacht? Ja, 74. Und nun können wir die Kreisgleichung aufschreiben. Der Kreis ist gleich alle Punkte, die - jetzt will ich erst mal r ausrechnen - Wenn r² gleich 74 ist, ist r gleich die Wurzel aus 74. Also, die Kreisgleichung gilt für alle Punkte (x/y), die so weit entfernt vom MIttelpunkt sind. Was werden das für Punkte sein? Die Strecke ist x minus die x-Koordinate des Mittelpunktes Also ( x minus -1 )² (x minus -1) ² plus y minus y minus die y-Koordinate des Mittelpunkts. ( y minus 1 )² ist gleich r ² Ist gleich der Länge des Radius zum Quadrat. Wir wissen, dass r² =74 sein muss. 74. Wenn wir es etwas vereinfachen wollen: Du subtrahierst eine negative Zahl, wird dies zu einer positiven Zahl. Also wird es zu (x+1)² vereinfacht plus (y-1)² ist gleich 74. Ist gleich 74. Und dann haben wir es geschafft.