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Merkmale eines Kreises aus seiner Standardgleichung

Video-Transkript

Die Gleichung eines Kreises C ist x plus 3 zum Quadrat plus y minus 4 zum Quadrat ist gleich 49. Was sind sein Zentrum (h,k) und sein Radius? Was ist ein Kreis? Wir haben einen Punkt (h,k) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand von diesem Punkt haben. Nehmen wir die Menge aller Punkte, die den Abstand r von (h,k) haben Der Abstand hier ist r und wir wollen alle Punkte erhalten, die exakt r vom Ausgangspunkt entfernt sind. Also alle Punkte (x/y), die im Abstand e vom Ausgangspunkt entfernt sind. Du kannst nun alle Punkte verbinden und alle diese Punte werden exakt um r weit weg vom Ausgangspunkt sein. Und ich werde mein bestes tun, um einen einigermaßen perfekten Kreis zu malen. Ich werde es nicht perfekt machen, aber wir werden eine Idee erhalten. Alle diese Punkte sind exakt um r weit vom Ausgangspunkt entfernt, wenn wir es genau zeichnen. Diese Punkte sind um r weit weg (h/k). Wie können wir eine Gleichung mit r, (h,k) und x finden und y, der alle diese Punkte beschreibt? Wir wissen, wie wir den Abstand zwischen 2 Punkten im Koordinatensystem finden. Tatsächlich kommt es vom Satz des Pythagoras. Wenn wir eine vertikale Linie hier einzeichnen, die den Wendepunkt in der vertikalen Achse zwischen diesen beiden Punkten y und k ausmacht, Hier ist y, dort ist k, dann ist dieser Abstand y minus k. Wir können dasselbe auch auf der horizontalen Achse machen. Wir können dasselbe auch auf der horizontalen Achse machen. Diese x-Koordinate ist x, während diese x-Koordinate h ist Also erhalten wir x minus h für den Abstand. Und dies ist ein rechter Winkel, denn laut Defintion messen wir hier den vertikalen Abstand. Hier messen wir den horizontalen Abstand. Diese 2 Linien stehen also senkrecht aufeinander. Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass diese Strecke zum Quadrat addiert mit dieser Strecke zum Quadrat gleich dem Abstand r zum Quadrat sein muss. Daraus resultiert die Abstands-Formel Wir wissen, dass x minus h zum Quadrat plus y minus k zum Quadrat gleich r zum Quadrat sein muss. Das ist die Gleichung für die Menge, die jedes (x,y) beschreibt, das die Gleichung erfüllt Diese Gleichung bringt den Kreis zustande Beantworten wir nun die Frage. Das hier ist die Kreisgleichung Und dies sieht dem eben geschriebenen schon ziemlich ähnlich. Wir müssen uns nur vergewissern, dass wir nicht mit den Minuszeichen durcheinander kommen Erinnern wir uns, dass es die Form x minus h und y minus k haben muss. Schreiben wir es etwas anders auf. Statt x plus 3 zum Quadrat, können wir x minus -3 zum Quadrat schreiben. Und dann plus y minus 4 zum Quadrat ist gleich 7 zum Quadrat, anstatt 49 Und jetzt wird es klarer, dass unser h = -3 ist. Unser h ist minus 3, und unser k ist 4, und unser r ist 7. Es folgt, dass (h,k) gleich -3 Komma 4 Es folgt, dass (h,k) gleich -3 Komma 4 Aufgepasst: Du könntest sagen, hier ist eine negative 4 Aufgepasst: Du könntest sagen, hier ist eine negative 4, aber schau, hier ist ein minus k, Also ist k = 4 Genauso ist es minus h Du könntest sagen, dass h plus 3 ist aber wir subtrahieren das h. Wir rechnen minus minus 3. Ausserdem ist der Radius 7