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Brennpunkt und Leitlinie einer Parabel aus der Gleichung

Video-Transkript

Wir haben hier eine Parabelgleichung. In diesem Video möchte ich eine alternative Methode vorstellen, wie wir Brennpunkt und Leitkurve dieser Parabel ausgehend von der Gleichung finden können. Als erstes möchte ich nach y auflösen. Es fällt mir einfach leichter, wenn ich das zuerst mache. Wir wollen 23/4 auf die rechte Seite bringen. Wir addieren also 23/4 zu beiden Seiten, und erhalten y = -1/3(x - 1)² + 23/4. Jetzt erinnern wir uns daran, was wir über Brennpunkte und Leitkurven gelernt haben. Wenn sich der Brennpunkt einer Parabel am Punkt (a|b) befindet, und die Leitkurve bei y = k ist, haben wir in anderen Videos gezeigt, dass wir mit ein bisschen Algebra die Gleichung der Parabel in der Form y = 1/(2(b - k)) erhalten. Dieses (b - k) ist dann die Differenz zwischen dieser y-Koordinate und diesem y-Wert. Das wird mit (x - a)² + (b + k)/2 multipliziert. Wenn der Brennpunkt (a|b) ist, und die Leitkurve bei y = k, dann ist das die Gleichung der Parabel. Wir kennen diese Technik bereits, und können die verschiedenen Teile erkennen. Wir sehen, dass dieses (x - 1)² diesem (x - a)² entspricht, also entspricht 1 diesem a. Dadurch wissen wir, dass a = 1 ist. In diesem Beispiel hier ist a = 1. Und dann siehst du, dass -1/3 hier 1/(2(b -k)) entspricht, und dass 23/4 dem Term (b + k)/2 entspricht. Bei der ersten Technik haben wir -1/3 mit diesem Term gleichgesetzt, und nach (b - k) aufgelöst. Wir haben nicht nach b oder k aufgelöst, sondern nach dem Ausdruck (b - k). Also erhalten wir (b - k) = ??? Und dann können wir 23/4 und das hier benutzen, um nach (b + k) aufzulösen. Wir haben also (b + k) = ???, und dann haben wir zwei Gleichungen und zwei Unbekannte und können nach b und k auflösen. In diesem Video möchte ich eine andere Methode vorstellen, die unser Wissen über den Scheitelpunkt einer Parabel nutzt, um herauszufinden, wo Brennpunkt und Leitkurve liegen. Wir schauen uns jetzt also den Scheitelpunkt dieser Parabel hier an. Denk daran: Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, dann ist der Scheitelpunkt gleichzeitig der Tiefpunkt. Wenn sie nach unten geöffnet ist, dann ist es der Hochpunkt. Wenn wir uns die Gleichung anschauen, sehen wir, dass -1/3 vor dem (x - 1)² steht. Dieser Wert hier ist also entweder 0 oder negativ. Er wird nicht zu 23/4 addiert, es wird entweder gar nichts addiert oder sogar subtrahiert. Diese Parabel erreicht also einen Hochpunkt, wenn das hier gleich 0 ist, und geht von dort aus nach unten. Und wenn das hier 0 ist, dann ist y = 23/4. Unser Scheitelpunkt ist also dieser Hochpunkt. Wann ergibt das hier 0? Wenn x = 1 ist. Wenn x = 1 ist, erhältst du (1 - 1)². Also rechnest du 0² ⋅ 1/3 und erhältst 0. Wenn x = 1 ist, haben wir unseren höchsten y-Wert von 23/4 erreicht, was wir auch als 5 3/4 schreiben könnten. Das ist unser Scheitelpunkt. Wir haben eine nach unten geöffnete Parabel. Ich zeichne sie mal kurz. Ich zeichne die Achsen ein. Wir müssen bis 5 3/4 zeichnen. Das ist unsere y-Achse. Das ist die x-Achse. Das ist 1, das ist 2. Jetzt will ich 5 3/4 finden. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Unser Scheitelpunkt ist hier bei (1|23/4) bzw. (1|5 3/4) Er ist also ungefähr hier. Und da wir vor unserem (x - 1)² einen negativen Wert haben, haben wir eine nach unten geöffnete Parabel. Das ist ein Hochpunkt. Unsere tatsächliche Parabel sieht also ungefähr so aus. Ich zeichne mit der Hand, es ist also keine perfekte Zeichnung, aber ich hoffe, du bekommst eine Idee dafür, wie die Parabel aussieht. Ich zeichne doch nur einen kleinen Teil davon, da ich noch nicht so viele Informationen über die Parabel habe. Ich zeichne sie so. Wir wissen noch nicht, wo Brennpunkt und Leitkurve sind, aber wir wissen ein paar Dinge. Der Brennpunkt hat denselben x-Wert wie der Scheitelpunkt. Das ist x = 1. Wir wissen von unseren Erfahrungen mit Brennpunkten, dass sie auf derselben Achse liegen wie der Scheitelpunkt. Der Brennpunkt liegt also vielleicht hier und die Leitkurve ist abstandsgleich auf der anderen Seite. Die Leitkurve könnte also hier sein. Wie gesagt, ich weiß es noch nicht, aber wir wissen dadurch, dass dieser Punkt, nämlich der Scheitelpunkt, auf der Parabel liegt, er laut Definition abstandsgleich zu Brennpunkt und Leitkurve sein muss. Diese beiden Entfernungen müssen also gleich sein. Wie können wir diese vollständige Entfernung noch betrachten? Denk daran, diese Koordinate hier ist (a|b), und diese Gerade ist y = k. Was ist diese Entfernung in gelb also? Was ist diese Differenz in y? In diesem Fall ist die Leitkurve über dem Brennpunkt, also können wir sagen, dass das (k - b) wäre bzw. der absolute Wert von (b - k). Das funktioniert immer. Dadurch erhältst du immer eine positive Entfernung. Wenn wir den absoluten Wert von (b - k) kennen, dann teilen wir ihn einfach durch 2, die Leitkurve ist die Hälfte der Entfernung darüber, und der Brennpunkt ist die Hälfte der Entfernung darunten. Mal sehen, ob wir es herausfinden. Und wir können es herausfinden, da wir in dieser Gleichung sehen können, wo (b - k) involviert ist. 1/(2(b - k)) muss gleich -1/3 sein. Also lösen wir nach (b - k) auf. Wir erhalten 1/(2(b - k)) = -1/3. Das entspricht dem hier. Es soll -1/3 ergeben. Wir können den Kehrwert von beiden Seiten nehmen, und erhalten 2(b - k) = -3. Jetzt können wir beide Seiten durch 2 dividieren, und erhalten (b - k) = -3/2. Ich habe da oben das Minus vergessen, deswegen ergibt das hier -3/2. Und wenn du den absoluten Wert von (b - k) nimmst, erhältst du 3/2. Alternativ kannst du auch k - b rechnen, und erhältst ebenfalls 3/2. Einfach nur dadurch, dass wir die -1/3 zu diesem Teil der Gleichung zugeordnet haben, können wir den absoluten Wert von (b - k) herausfinden, der die Entfernung zwischen Brennpunkt und Leitkurve auf der y-Achse angibt. Diese Entfernung hier ist also 3/2. Was ist also die Hälfte dieser Entfernung? Die Hälfte dieser Entfernung ist deshalb wichtig, weil ich damit ausrechnen kann, wo der Brennpunkt ist, da er die Hälfte dieser Entfernung unter dem Scheitelpunkt ist. Und ich weiß dann, dass dieselbe Entfernung darüber die Leitkurve ist. 1/2 ⋅ 3/2 = 3/4. So einfach haben wir herausgefunden, dass die Leitkurve 3/4 darüber liegt. Die Leitkurve hat also dieselbe y-Koordinate wie der Scheitelpunkt, zu der wir noch 3/4 hinzurechnen. Wir addieren 3/4, was 26/4 oder 6 1/2 ergibt. Das hier drüben ist also die Leitkurve. y = 6 1/2. Und wir kennen bereits die x-Koordinate des Brennpunkts. a = 1 und b ist 3/4 weniger als die y-Koordinate der Leitkurve. Wir rechnen also 23/4 - 3/4 und erhalten 20/4 bzw. 5. Und wir sind fertig. Das ist unser Brennpunkt: (1|5). Unsere Leitkurve ist bei y = 6 1/2.