Parabelgleichung von Brennpunkt und Directrix

Ich habe hier in gelb eine Parabel gezeichnet, und in vorherigen Videos haben wir gelernt, dass eine Parabel als eine Menge aller Punkte definiert werden kann, die abstandsgleich zu einem Punkt und einer Gerade sind. Und dieser Punkt wird Brennpunkt der Parabel genannt, und die Gerade nennen wir Leitkurve der Parabel. In diesem Video möchte ich diese Definition nutzen, und die Information, dass wir einen Brennpunkt beim Punkt x = a, y = b, und eine Leitkurve an der Stelle y = k haben, um herauszufinden, wie die Gleichung der Parabel lautet. Sie besteht aus den Variablen a, b und k. Legen wir los. Wir nehmen einen zufälligen Punkt auf der Parabel. Wir nehmen diesen Punkt hier, seine x-Koordinate ist x, seine y-Koordinate ist y, und damit das hier eine Parabel sein kann, muss er abstandsgleich zum Brennpunkt und der Leitkurve sein. Was bedeutet das? Es bedeutet, dass die Entfernung zur Leitkurve, die ich hier in blau einzeichne, genauso groß sein muss wie die Entfernung zum Brennpunkt, den ich in pink einzeichne. Wenn wir die Entfernung zur Leitkurve messen, zeichnen wir einfach einen senkrechten Strich, der die kürzeste Entfernung zu dieser Geraden darstellt. Aber bei der Entfernung zum Brennpunkt haben wir einen Winkel, und wir müssen vielleicht den Satz des Pythagoras anwenden. Das machen wir jetzt. Diese beiden Entfernungen müssen gleich sein. Wie groß ist diese blaue Entfernung? Das ist unsere Differenz in y. Wir rechnen y - k. Das ist diese Entfernung. Also haben wir y - k. Wir müssen vorsichtig sein. So wie ich es gezeichnet habe ist y größer als k, also gibt uns das einen positiven Wert, und wir brauchen einen nicht-negativen Wert, wenn es um Entfernungen geht. Aber es ist definitiv möglich, eine Parabel zu haben, bei der die y-Koordinate des Brennpunkts kleiner als die y-Koordinate der Leitkurve ist, und in diesem Fall wäre das hier negativ. Wir wollen also den absoluten Wert hiervon haben, wir könnten den Wert auch quadrieren, und dann die positive Quadratwurzel davon ziehen, wobei dasselbe herauskommt, wie wenn man den absoluten Wert von y - k nimmt. Das ist also diese Entfernung hier. Damit (x|y) auf der Parabel liegen kann, muss diese Entfernung genauso groß sein, wie die Entfernung von (x|y) zu (a|b), also dem Brennpunkt. Wie groß ist diese Entfernung? Wir wenden einfach die Distanzformel an, die wir auch Satz des Pythagoras nennen. Wir nehmen die Differenz in x, also (x - a)², und addieren die Differenz in y, also (y - b)². Und davon nehmen wir die Quadratwurzel. Das hier ist die Gleichung einer Parabel. Sie sieht ziemlich kompliziert aus, aber es ist wirklich die Gleichung einer Parabel, ich muss sie nur vereinfachen. Und wenn du Lust dazu hast, ermutige ich dich, diese Vereinfachung selbst zu machen. Du musst nur etwas Algebra anwenden, aber es ist nicht allzu schwierig. Du erhältst eine Gleichung für eine Parabel, die du vielleicht erkennst, und sie wird in der Form eines allgemeinen Brennpunkts (a|b) und einer allgemeinen Leitkurve y = k angegeben sein. Legen wir also los. Zu Beginn ist es am einfachsten, wenn wir beide Seiten quadrieren, um die Wurzeln loszuwerden. Dann erhalten wir auf der linken Seite (y - k)². Rechts haben wir dann (x - a)² + (y - b)². Okay. Jetzt möchte ich, dass links nur noch ein y übrig bleibt, und rechts nur x, a, b und k. Zuerst erweitere ich also alle Ausdrücke, die ein y beinhalten. Dieser blaue Ausdruck auf der linken Seite lautet dann y² - 2yk + k². Rechts lassen wir den ersten Ausdruck (x - a)² so stehen. Den zweiten Ausdruck wollen wir jetzt erweitern. Dafür verwende ich grün. Er lautet dann y² - 2yb + b². Ich habe einfach nur (y - b) mit (y - b) multipliziert. Mal sehen, ob wir vereinfachen können. Ich habe ein y² auf der linken Seite, ich habe ein y² auf der rechten Seite, also kann ich y² von beiden Seiten subtrahieren. Das macht es etwas einfacher. Was können wir jetzt machen? Wir wollen k² auf diese Seite bringen, also subtrahiere ich k² von beiden Seiten, um es auf der linken Seite loszuwerden. Jetzt addieren wir 2yb zu beiden Seiten, damit wir alle y-Werte auf der linken Seite haben. Wir addieren 2yb. Dann haben wir 2yb auf der linken Seite. Was steht auf der rechten Seite? Ich schreibe hier drüben weiter, damit ich mehr Platz habe. Was habe ich also auf der linken Seite? Wir haben 2yb - 2yk. Wir können 2y ausklammern, dann haben wir 2y(b - k). Also machen wir das. Wir können es als 2(b - k)y schreiben, wenn wir eine 2 und ein y ausklammern. Das ist dieser Teil der linken Seite. Diese Terme kürzen sich weg. Auf der rechten Seite müssen wir etwas Algebra anwenden. Rechts haben wir (x - a)². Diese beiden kürzen sich weg. Es bleibt b² - k² übrig. Ich habe gesagt, dass links nur noch ein y übrig bleiben soll, also dividiere ich das alles hier durch 2(b - k). Links kürzt es sich weg und es bleibt nur ein y übrig. Rechts haben wir 1/(2(b - k)), und du siehst, dass (b - k) die Differenz zwischen der y-Koordinate des Brennpunkts, und der y-Koordinate der Gerade y = k ist. Wir haben also 1/(2(b - k)) (x - a)². Wenn du also weißt, was b - k ist, dann hätten wir hier einfach eine Zahl, die mit (x - a)² multipliziert wird. Ich hoffe, dass das so aussieht, wie bei den Parabeln, die du aus deiner Kindheit kennst. Jetzt wollen wir den rechten Term vereinfachen. Du siehst vielleicht, dass b² - k² eine Differenz von Quadraten ist. Es ist dasselbe wie (b + k)(b - k). Die beiden (b - k) kürzen sich also weg, und es bleibt nur 1/2(b + k) übrig. Fertig. Wir hatten einen Brennpunkt an der Stelle (a|b) gegeben, und eine Leitkurve bei y = k, und konnten davon die Formel der Parabel herausfinden. Wenn ich zum Beispiel einen Brennpunkt an der Stelle (1|2) hätte, und eine Leitkurve bei y = -1, wie würde dann die Gleichung der Parabel lauten? Wir setzen die Werte ein und erhalten im ersten Term 1/(2 - (-1)), was dasselbe ist wie 2 + 1, das ergibt also 3. 2 - (-1) = 3. Dann multiplizieren wir mit (x - 1)², und addieren 1/2(b + k), wir haben also 2 + (-1), was 1 ergibt. Welches Ergebnis erhalten wir? Das Ergebnis lautet y = 1/6 (x - 1)² + 1/2. Fertig. Das ist die Parabel mit einem Brennpunkt an der Stelle (1|2) und einer Leitkurve bei y = -1. Faszinierend.