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Lösen von Exponentialgleichungen mithilfe der Exponenteneigenschaften (fortgeschritten)

Sal löst Gleichungen wie 32 ^ (x / 3) = 8 ^ (x-12) und 5 ^ (4x + 3) / 25 ^ (9-x) = 5 ^ (2x + 5).

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Video-Transkript

Wir wollen weiterhin das Lösen von Exponentialgleichungen üben. Ich habe hier zwei verschiedene Exponentialgleichungen. Pausiere das Video, und versuche, beide Gleichungen nach x aufzulösen. Wir beginnen mit der linken Gleichung. Dir fällt vielleicht auf, dass wir auf den beiden Seiten der Gleichung verschiedene Basen haben. Es wäre schön, eine gemeinsame Basis zu haben. Du siehst, dass 32 keine Potenz von 8 ist, oder zumindest keine ganzzahlige Potenz von 8. Aber sie sind beide Zweierpotenzen. 32 ist dasselbe wie 2⁵, und 8 ist dasselbe wie 2³. Ich schreibe die ursprüngliche Gleichung um. Anstatt 32 schreibe ich 2⁵, und im Exponenten davon habe ich x/3. Anstatt 8 schreibe ich 2³, und im Exponenten davon steht x - 12. Wenn eine Zahl einen Exponenten hat, und ich diese dann nochmal potenziere, kann ich diese Exponenten einfach multiplizieren. Ich kann links also in 2^(5x/3) umformen. Ich multipliziere einfach diese Exponenten. Rechts schreibe ich 2^(3x - 36), da ich 3 mit (x - 12) multipliziere. Wir haben vereinfacht. Ich habe auf beiden Seiten 2 als Basis. Diese beiden Exponenten müssen also gleichwertig sein. 5x/3 muss also gleich 3x - 36 sein. Wir setzen sie also gleich und lösen nach x auf. 5x/3 = 3x - 36. Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 3. Wir multiplizieren beide Seiten mit 3, und erhalten links 5x. Rechts erhalten wir 9x - 108. Jetzt können wir 9x von beiden Seiten subtrahieren, und rechnen 5x - 9x, was -4x ergibt. Rechts bleibt -108 übrig. Wir sind gleich fertig. Wir dividieren jetzt beide Seiten durch -4. Das Ergebnis lautet also x = 27. Fertig. Und wenn du x hier wieder einsetzen würdest, hättest du 32^(27/3), also 32^9 auf der linken Seite. Rechts hättest du 8^(27 - 12), also 8^15, da 27 - 12 = 15 ist. Das hat Spaß gemacht. Machen wir weiter. Diese Gleichung sieht interessant aus. Wir haben rationale Ausdrücke. Wir haben hier oben einen Exponenten und hier unten einen Exponenten. Zuerst drücke ich diese 25 mit einer Basis von 5 aus. Wir wissen, dass 25 dasselbe ist wie 5². Wir können das also in (5^(4x + 3))/(5²)^(9 - x) umformen. Auf der rechten Seite bleibt natürlich 5^(2x + 5) stehen. Bei (5²)^(9 - x) kann ich diese Exponenten einfach multiplizieren. Ich habe also wieder (5^(4x + 3)) im Zähler, im Nenner rechne ich jetzt 2 ⋅ 9 = 18, 2 ⋅ (-x) = -2x. Und rechts bleibt 5^(2x + 5) stehen. Mal sehen, es gibt mehrere Lösungswege. Wir können beide Seiten der Gleichung mit 5^(18 - 2x) multiplizieren. Das wäre eine Möglichkeit. Oder wir sehen, dass wir im Zähler und im Nenner 5 als Basis haben, und wir also den blauen Exponenten einfach vom gelben subtrahieren können. Links haben wir dann 5^(4x + 3) - (18 - 2x). Rechts bleibt wieder 5^(2x + 5) stehen. Jetzt müssen wir noch ein bisschen vereinfachen. Jetzt können wir sagen, dass dieser Exponent und dieser Exponent gleichwertig sein müssen, da wir dieselbe Basis haben. Das hier links forme ich in 4x + 3 - 18 + 2x um. Ich multipliziere nur das Minuszeichen mit diesen beiden Termen. Rechts haben wir 2x + 5. Es gibt mehrere Lösungswege. Wir könnten z.B. 2x von beiden Seiten subtrahieren, um die Gleichung zu vereinfachen. Wir könnten auch 5 von beiden Seiten subtrahieren. Also machen wir das. Ich subtrahiere 5 von beiden Seiten. Ich überspringe hier ein paar Schritte, aber ich gehe davon aus, dass du dich mit linearen Gleichungen schon gut auskennst. Links haben wir 4x - 5, da 3 - 18 = -15 ergibt. -15 - 5 = -20. Rechts bleibt 0 übrig, da sich diese beiden Terme wegkürzen. Wir addieren also 20 zu beiden Seiten, und erhalten 4x = 20. Wir dividieren beide Seiten durch 4, und erhalten x = 5. Und wir sind fertig.