Lösung von Exponentialgleichungen mit Exponenteneigenschaften

Lass uns das Lösen von Exponentialgleichungen üben. Wir haben hier die Gleichung 26^(9x + 5) = 1. Pausiere das Video und versuche herauszufinden, was x ergibt. Es ist wichtig, zu erkennen, dass 26^0 = 1 ergibt. Jede Basis mit dem Exponenten 0 ergibt 1. Wie es bei 0^0 aussieht, besprechen wir ein anderes Mal, aber alle anderen Zahlen mit 0 im Exponenten ergeben 1. Wir müssen also dafür sorgen, dass 9x + 5 = 0 wird. Und das ist relativ einfach zu lösen. Wir subtrahieren 5 von beiden Seiten. Wir erhalten 9x = -5. Wir dividieren beide Seiten durch 9 und erhalten x = -5/9. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel, das ein bisschen interessanter ist. Die Exponentialgleichung lautet 2^(3x + 5) = 64^(x - 7). Pausiere wieder das Video, und versuche herauszufinden, was x ergeben muss, um diese Exponentialgleichung zu erfüllen. Du denkst vielleicht am Anfang, dass 3x + 5 = x - 7 sein muss, aber das würde nicht funktionieren, da wir zwei verschiedene Basen haben. Wir haben 2^(3x + 5) und 64^(x - 7). Wir müssen also beide Terme mit derselben Basis ausdrücken, und zum Glück ist 64 eine Zweierpotenz. 2^3 = 8, also ist 2^3 ⋅ 2^3 = 64. 8 ⋅ 8 = 64, also ist 2^6 = 64. Du kannst das bestätigen, indem du sechs 2en nimmst und miteinander multiplizierst. Du wirst 64 erhalten. Das ist nur ein bisschen einfacher für mich. 8 ⋅ 8. Und das ist dasselbe wie 2^6, also 64. Ich wusste, dass es 2^6 ist, weil ich einfach die Exponenten addiert habe, da ich dieselbe Basis hatte. Ich kann also die ganze Gleichung umschreiben. Das hier ist 2^(3x + 5) = (2^6)^(x - 7). Und um das ein wenig zu vereinfachen, müssen wir uns nur daran erinnern, dass, wenn ich eine Zahl potenziere und dann das nochmal potenziere, es dasselbe ist, wie wenn ich meine Basis mit dem Produkt dieser beiden Exponenten potenziere. a^(bc). Links behalten wir 2^(3x + 5), rechts habe ich die Basis 2, dann multipliziere ich einfach 6 ⋅ (x - 7) und erhalte 6x - 42. 6x - 42. Ich habe einfach nur 6 mit dem Ausdruck (x - 7) multipliziert. Das ist interessant. Ich habe 2^(3x + 5) = 2^(6x - 42). Diese beiden Ausdrücke sind also derselbe Exponent. 3x + 5 muss also gleich 6x - 42 sein. Wir haben jetzt eine schöne Gleichung. 3x + 5 = 6x - 42. Ich bringe alle x-Werte auf die rechte Seite, da dort bereits der höhere x-Wert steht. Ich subtrahiere jetzt 3x von beiden Seiten. Ich möchte diese -42 hier loswerden, also addiere ich 42 zu beiden Seiten. Links rechnen wir 5 + 42, was 47 ergibt. Und rechts haben wir 3x. Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3, und erhalten x = 47/3. Und wir sind fertig.