Änderungen in Exponentialmodellen bestimmen

Ich habe hier ein paar Screenshots einer Khan Academy Übung mit dem Namen: "Änderungsraten von Exponentialmodellen interpretieren" Vielleicht wird der Titel noch geändert. Legen wir also los. Am ersten Frühlingstag blüht ein ganzes Feld voller Bäume. Die Heuschreckenpopulation, die diese Blüten frisst, steigt während dieser Baumblüte sehr schnell an. Wir haben also eine Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Tagen seit Frühlingsbeginn, und der Gesamtzahl der Heuschrecken L(t). Die Anzahl der Heuschrecken ist eine Funktion der Anzahl der Tage, die seit Frühlingsbeginn vergangen sind, und wird durch folgende Funktion dargestellt. Die Anzahl der Heuschrecken als eine Funktion der Zeit lautet also 750 ⋅ (1,85)^t. Vervollständige den folgenden Satz über die tägliche Änderungsrate der Heuschreckenpopulation: "Jeden Tag .... die Heuschreckenpopulation um einem Faktor von .... ." Ich zeichne eine kleine Tabelle, um es etwas zu vereinfachen. Wir haben t und L(t). Wenn t = 0 ist, wenn also 0 Tage vergangen sind, haben wir 1,85^0, was 1 ergibt. Also haben wir zu Beginn 750 Heuschrecken. Wenn t = 1 ist, was passiert dann? Dann haben wir 750 ⋅ (1,85)^1. Dann multiplizieren wir also mit 1,85. Wenn t = 2 ist, was ist dann L(t)? Es ist 750 ⋅ 1,85^2. Das ist dasselbe wie 1,85 ⋅ 1,85. Fällt dir was auf? Es liegt daran, dass das hier eine Exponentialfunktion ist. Jeden Tag hast du 1,85 mal so viele Heuschrecken wie am Tag davor. Wir nehmen also den Wert vom Vortag und multiplizieren ihn mit 1,85. Und da 1,85 größer als 1 ist, wächst die Zahl der Heuschrecken an. In diese Lücke kommt also "wächst". Ich bin gerade nicht auf der Webseite, aber normalerweise könnte ich jetzt eine Antwort auswählen. Jeden Tag haben wir also ein Wachstum mit dem Faktor 1,85. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Hier steht, dass Vera eine Ökologin ist, die die Änderungsrate der Bärenpopulation in Sibirien erforscht. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Jahren, seit Vera begonnen hat, die Population zu erforschen, und der Gesamtzahl der Bären N(t) wird von der folgenden Funktion dargestellt. Okay, wir haben wieder eine Exponentialfunktion. Vervollständige den folgenden Satz über die jährliche Änderungsrate der Bärenpopulation. t steht jetzt für Jahre und jedes Jahr, das vergeht, ist 2/3 des vorherigen Jahres. Ich mache wieder eine Tabelle, um es zu verdeutlichen. Das hier ist t und das hier N(t). Wenn t = 0 ist, haben wir 2187 Bären. Das ist das erste Jahr, in dem sie begonnen hat, die Population zu erforschen. 0 Jahre seitdem Vera begonnen hat, die Population zu erforschen. Das erste Jahr ist 2187 ⋅ (2/3)^1, also 2187 ⋅ 2/3. Das zweite Jahr ist 2187 ⋅ (2/3)^2, also multiplizieren wir mit 2/3 ⋅ 2/3. Jedes folgende Jahr haben wir also 2/3 der Bärenpopulation des vorherigen Jahres. Wir multiplizieren den Wert aus dem Vorjahr mit 2/3. Die Bärenpopulation sinkt also jedes Jahr um einen Faktor von 2/3. Machen wir noch ein Beispiel. Akiba hat beobachtet, wie sich die Anzahl der Äste seines Baumes im Laufe der Zeit verändert hat. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Jahren, seit Akiba seinen Baum beobachtet hat, und der Gesamtzahl seiner Äste N(t) wird von der folgenden Funktion dargestellt. Vervollständige den folgenden Satz über die jährliche prozentuale Änderung in der Anzahl der Äste: "Jedes Jahr werden ... % der Äste zur Gesamtzahl der Äste hinzugefügt/davon abgezogen." Ich zeichne wieder eine Tabelle, obwohl du vielleicht schon beim Anschauen weißt, dass du jedes Jahr 1,75 mal so viele Äste haben wirst, wie das Jahr zuvor. Wir haben also 1,75 mal so viele Äste wie das Jahr zuvor, wir haben also ein Wachstum von 75%. Jedes Jahr werden also 75% der Äste zur Gesamtzahl der Äste hinzugefügt. Ich zeichne wieder eine Tabelle, wie in den vorherigen Beispielen, um das hoffentlich zu verdeutlichen. Wir haben t und N(t). Wenn t = 0 ist, haben wir 42 Äste. Bei t = 1 haben wir 42 ⋅ 1,75. Wenn t = 2 ist, haben wir 42 ⋅ 1,75², also 42 ⋅ 1,75 ⋅ 1,75. Du multiplizierst also jedes Jahr mit 1,75. Wenn du mit einem Faktor von 1,75 wächst, ist es dasselbe, wie 75% hinzuzufügen. Wir fügen 75% hinzu. Du kannst es so sehen: Wenn du um einen Faktor von 1 wächst, dann fügst du gar nichts hinzu. Du bleibst konstant. Wenn du um 10% wächst, dann wird der Wert 1,1 mal so groß. Wenn du um 200% wächst, dann ist der Wert 3 mal so groß. Ich wiederhole nochmal, was ich eben gesagt habe, damit du es nicht falsch verstehst. Wenn du ein Wachstum von 200% hast, dann ist der Wert 3 mal so groß wie vorher. Bei 1 ist er konstant, und zusätzliche 200% sorgen dafür, dass du insgesamt 3 mal so groß bist. Nicht, dass du verwirrt bist. Ich hoffe, das hilft dir weiter.