Konstruieren von Exponentialmodellen (altes Beispiel)

Caesium-137 ist ein radioaktives Markierungselement, das zur Analyse von Bodenerosion und Sedimentation benutzt wird. Es hat eine Halbwertszeit von ungefähr 30 Tagen. Diese Halbwertszeit von 30 Tagen bedeutet, dass, wenn man mit 2kg Caesium-137 beginnt, man 30 Tage später 1kg Caesium-137 hat. Das andere Kilogramm ist in andere Dinge zerfallen. Und wenn man weitere 30 Tage wartet, dann hat man nur noch ein halbes Kilogramm Caesium-137. Man nehme an, dass die Menge A in Becquerel von Caesium-137 in einer Erdprobe von der Exponentialfunktion A = c ⋅ r^t dargestellt wird, bei der t für die Anzahl der Tage steht, seit Caesium-137 in die Erde gegeben wurde, und c und r unbekannte Konstanten sind. Es stellen sich einige Fragen. Was bedeutet Becquerel? Wenn wir normalerweise über die Menge eines Elements reden, reden wir meistens von einer Masse in Kilogramm. Aber manche Leute beschreiben die Menge einer radioaktiven Substanz in Bezug auf die Radioaktivität, die sie produziert. Und Becquerel ist die internationale Einheit der Radioaktivität, benannt nach Henri Becquerel, der zusammen mit Marie Curie die Radioaktivität entdeckt hat. Du könntest das also als die Menge Caesium-137 betrachten, die A Becquerel an Radioaktivität verursachen. Auf jeden Fall handelt es sich einfach um eine Menge. Aber es ist die Menge, die A Becquerel an Strahlung verursacht. Um es zu verdeutlichen: Die Menge wird von der Exponentialfunktion A = c ⋅ r^t angegeben, bei der t die Anzahl der Tage ist, seitdem Caesium-137 in die Erde gegeben wurde, und c und r sind unbekannte Konstanten. Das hier steht für die Tage, seitdem die Menge in die Erde gegeben wurde. Zusätzlich wissen wir, dass die ursprüngliche Menge Caesium-137, die in die Erde gegeben wurde, 8 Becquerel sind. Wir sollen nach den unbekannten Konstanten c und r auflösen. Also die Anfangsmenge in der Erde. Das ist, wenn t = 0 ist, wenn also noch keine Tage vergangen sind. Wir sagen also, dass die Menge zum Zeitpunkt 0 gleich c ⋅ r^0 ist, was sich zu c ⋅ 1 umformen lässt, also c. Und wir wissen, was A(0) ist: A(0) = 8 Becquerel. Das ergibt also 8. Unsere Konstante c ergibt hier also 8. Welchen Wert hat die Konstante? Wir können hier einfach 8 hinschreiben. Der Wert der Konstanten c ist 8. Was ist der Wert der Konstante r? Runde auf den nächsten Tausender. Wir beginnen mit 8. A(0) = 8. Wie viel haben wir nach 30 Tagen? Ich nehme 30 Tage, da es die Halbwertszeit von Caesium-137 ist. Wir haben also A(30). Denk daran, dass t in Tagen angegeben ist. Wir haben A(30). Ich benutze diese Formel bzw. Exponentialfunktion und weiß bereits, dass c = 8 ist. Wir rechnen 8 ⋅ r^30. Was ergibt das? Wenn wir mit 8 begonnen haben, dann haben wir 30 Tage später die Hälfte davon. Wir haben dann 4 Becquerel. Das können wir nutzen, um nach r aufzulösen. Wir haben also 8 ⋅ r^30 = 4. Wir dividieren beide Seiten durch 8. Wir erhalten r^30 = 4/8, was dasselbe wie 1/2 ist. Dann können wir beide Seiten hoch 1/30 nehmen. Wenn du (r^30)^(1/30) rechnest, erhältst du einfach nur r, rechts haben wir dann (1/2)^(1/30). Das ist im Kopf sehr schwierig zu verstehen. Ich empfehle, einen Taschenrechner zu verwenden. Wir sollen auf den nächsten Tausender runden. Wir benutzen also den Taschenrechner. Wir rechnen also (1/2)^(1/30). Wir erhalten 0,9771599 und so weiter. Wir sollen zum nächsten Tausender runden, also 0,977. Wie viele Becquerel Caesium-137 verbleiben in unserer Probe, 150 Tage nachdem sie in die Erde gegeben wurde? Benutze den gerundeten Wert von r und runde diese Zahl auf den nächsten Hunderter. Wir kennen c und r bereits. Wir wissen, dass die Menge Caesium-137 in Becquerel in einer Funktion, die von der Zeit in Tagen abhängig ist, 8 ⋅ (0,977)^t ist, bei der t für die Anzahl der Tage steht, die vergangen sind. Und die Frage ist, wie viel nach 150 Tagen übrig bleibt. Wir sollen also A(150) ausrechnen. Wir rechnen also 8 ⋅ (0,977)^150. Wir brauchen offensichtlich einen Taschenrechner. Wir multiplizieren also 8 mit dem gerundeten Wert von r, nicht dem exakten Wert von r, also rechnen wir 8 ⋅ 0,977^150. Wir sollen unser Ergebnis auf den nächsten Hunderter runden: 0,24. 0,24 Becquerel ist die Radioaktivität des Caesium-137, die übrig bleibt. Es ist interessant, dass wir den gerundeten Wert von r benutzen sollten. Das hier ist nämlich ein Vielfaches von 30, und du könntest relativ einfach den exakten Wert herausfinden, der übrig bleibt. Du brauchst nicht mal einen Taschenrechner. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und darüber nachzudenken. Finde den exakten Wert. Anstatt 0,977, schreiben wir A(t) = 8 ⋅ r, das ist ein ungefährer Wert für r. Wenn wir noch genauer sein wollen, können wir sagen, dass unser r = 1/2^(1/30) ist. Und wir potenzieren es mit t. Oder wir schreiben A(t) = 8 ⋅ 1/2^(t/30). Wenn wir etwas potenzieren, und dann nochmal potenzieren, können wir diese Exponenten multiplizieren. Das ist also 1/2^(t/30). Wir haben also 8 ⋅ (1/2)^(t/30). Ich brauche diese Klammer hier nicht. Das ist eine andere Art, A(t) zu beschreiben. Was ist also A(150)? A(150) = 8 ⋅ (1/2)^(150/30) also 8 ⋅ (1/2)^5. Was ergibt (1/2)^5? Es ergibt (1^5)/(2^5) bzw. 1/32. Das ist also 1/32 und wir erhalten 8/32 ist, was 1/4 ist bzw. 0,25. Mit unserem gerundeten Wert für r haben wir 0,24 erhalten, als wir auf die 150te Potenz gerundet haben. Wir nehmen also 150 hiervon und multiplizieren sie miteinander, aber es ist nicht weit vom richtigen Wert entfernt. Wir sollten den gerundeten Wert benutzen, aber wenn wir den genauen, eigentlichen Wert benutzen, würden 0,25 Becquerel übrig bleiben.