Konstruieren von Exponentialmodellen: Halbwertszeit

Radiokarbon ist ein Element, das alle 5730 Jahre exakt die Hälfte seiner Masse verliert. Die Masse einer Probe von Radiokarbon kann von einer Funktion M dargestellt werden, die von ihrem Alter t (in Jahren) abhängig ist. Wir messen, dass die ursprüngliche Masse einer Probe Radiokarbon 741 Gramm wiegt. Schreibe eine Funktion auf, die die Masse der Radiokarbon-Probe darstellt, die t Jahre nach der ursprünglichen Messung übrig bleibt. Pausiere das Video, und versuche, ob du diese Funktion M finden kannst, die eine Funktion von t ist, also den Jahren seit der ursprünglichen Messung. Jetzt lösen wir es gemeinsam. Ich fange immer gern mit einer Wertetabelle an, um einen Überblick zu bekommen. t steht dafür, wie viele Jahre seit der ursprünglichen Messung vergangen sind, und M(t) für die Masse, die übrig bleibt. Wir wissen, dass die ursprüngliche Masse einer Probe Radiokarbon 741 Gramm hat, also haben wir bei t = 0 eine Masse von 741. Was wäre noch ein interessanter t-Wert? Wir wissen, dass alle 5730 Jahre, exakt die Hälfte unsere Masse an Radiokarbon verloren geht. Alle 5730 Jahre. Also schauen wir uns an, was passiert, wenn t = 5730 ist. Wir werden die Hälfte unserer Masse verlieren, also multiplizieren wir diesen Wert mit 1/2. Wir rechnen also 741 ⋅ 1/2. Ich rechne es noch nicht aus. Wenn dann weitere 5730 Jahre vergangen sind, schreibe ich einfach 2 ⋅ 5730 auf, ich könnte ausrechnen, was es ergibt. Es ergibt 11460. Aber ich schreibe einfach 2 ⋅ 5730. Es ergibt 11460. Aber ich lasse es so stehen. Dann multiplizieren wir diesen Wert mit 1/2. Also rechnen wir 741 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2. Wir multiplizieren also wieder mit 1/2. Das ist also dasselbe wie 741 ⋅ (1/2)². Wenn nochmal 5730 Jahre vergehen, rechnen wir 3 ⋅ 5730. Dann multiplizieren wir den vorherigen Wert mit 1/2. Wir rechnen also 741 ⋅ (1/2)³. Du erkennst wahrscheinlich das Muster. Egal, wie viele Halbwertszeiten wir haben, wir setzen die Anzahl in den Exponenten von 1/2, und multiplizieren mit unserer ursprünglichen Masse. Hier ist eine Halbwertszeit vorbei, hier haben wir zwei, wir haben den Exponenten 2, drei Halbwertszeiten, wir multiplizieren dreimal mit 1/2. Was ist ein allgemeiner Weg, um M(t) auszudrücken? M(t) ist unser ursprünglicher Wert 741, und du erkennst vielleicht schon, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt, wir multiplizieren mit dieser Zahl, die wir als unsere Basis bezeichnen können, so oft, wie Halbwertszeiten vorbeigegangen sind. Woher wissen wir, wie viele Halbwertszeiten vorbeigegangen sind? Wir könnten t nehmen und durch die Halbwertszeit dividieren. Wir versuchen es mal. Wenn t = 0 ist, haben wir (1/2)^0, was 1 ergibt, also erhalten wir einfach nur 741. Wenn t = 5730 ist, dann wird dieser Exponent 1, was wir so wollen. Wir multiplizieren einfach nur unseren Anfangswert einmal mit 1/2. Wenn t = 2 ⋅ 5730 ist, dann ist dieser Exponent 2, und wir multiplizieren zweimal mit 1/2, also mit 1/2². Und dazwischen funktioniert es auch. Wenn wir einen Bruchteil einer Halbwertszeit haben, erhalten wir einen Exponenten, der nicht ganzzahlig ist, was auch funktioniert. Das ist also unsere Funktion. Wir sind fertig. Wir haben unsere Funktion M geschrieben, die die Masse von Radiokarbon t Jahre nach der ursprünglichen Messung darstellt.