If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:3:48

Video-Transkript

Derek hat einen Kettenbrief an seine Freunde gesendet, in dem er bittet, diesen an weitere Freunde zu senden. Die Gruppe von Leuten, die die Email empfängt, nimmt alle 3 Wochen um 9/10 ihrer Größe zu, und wird von einer Funktion P dargestellt, die von der Zeit t (in Wochen) abhängig ist. Derek hat den Kettenbrief anfangs 40 Freunden geschickt. Erstelle eine Funktion, die die Gruppe von Leuten darstellt, die die Email t Wochen nach dem Zeitpunkt erhält, an dem Derek den Kettenbrief anfangs verschickt hat. Pausiere das Video und versuche, die Aufgabe zu lösen. Ich erstelle jetzt eine Tabelle mit den Werten t und unserer Funktion P, die eine Funktion von t ist. Wir nehmen zuerst Werte aus dem Beschreibungstext. Wenn t = 0 ist, wenn also 0 Wochen vergangen sind, seit Derek den Kettenbrief verschickt hat, wie viele Leute haben ihn dann bekommen? Derek hat den Kettenbrief ursprünglich an 40 Freunde geschickt. Wir haben also t = 0 und P(0) = 40. Was wäre jetzt ein interessanter Zeitpunkt? Hier steht, dass die Anzahl der Leute, die die Email erhalten, sich alle 3 Wochen um 9/10 erhöht. Wir schauen uns also an, was passiert, wenn 3 Wochen vergangen sind. Wir haben also t = 3. Welchen Wert hat P(t)? Wir wissen, dass er um 9/10 seiner Größe wächst. Wir haben also 40 + 9/10 ⋅ 40. Was ergibt das? Wir klammern die 40 aus, und erhalten 40(1 + 9/10) bzw. 40 ⋅ 1,9. Anders gesagt: Nach 3 Wochen haben wir ein Wachstum um 90%. Das ist eine andere Formulierung dafür, dass die Anzahl der Leute, die die Email erhalten haben, um 9/10 ihrer Größe angewachsen ist. Wir können sagen, dass die Gruppe der Leute, die die Email erhalten haben, alle 3 Wochen um 90% anwächst. Wenn weitere 3 Wochen vergehen, ich also nochmal 3 Wochen addiere, dann habe ich 6 Wochen. Wie viele Leute haben dann die Email bekommen? Wir hatten diese Zahl. Jetzt haben wir wieder ein Wachstum um 90%. Also multiplizieren wir wieder mit 1,9. Also rechnen wir 40 ⋅ 1,9 ⋅ 1,9. Wir wachsen nochmal um 9/10. Ein Wachstum um 9/10 ist dasselbe wie mit 1 und 9/10 zu multiplizieren. Die 1 ist das, was wir bereits haben. Und dann wachsen wir um weitere 9/10 an. Das ist also dasselbe wie 40 ⋅ 1,9². Weitere 3 Wochen vergehen, wir haben also 9 Wochen. Wir wachsen nochmal um 90% an. Wir nehmen also diese Zahl und multiplizieren sie nochmal mit 1,9, also haben wir 1,9³. Was passiert also hier drüben? Wir haben eine Exponentialfunktion. Wir haben unseren ursprünglichen Wert, und alle 3 Wochen multiplizieren wir mit 1,9. 1,9 wäre also unsere Basis. Wir könnten also sagen, dass P(t) = 40 (Anfangswert) ⋅ 1,9 (Basis) ist. Und wir multiplizieren alle 3 Wochen mit 1,9. Wir fragen uns also, wie viele 3-Wochen-Perioden seitdem vergangen sind. Wir nehmen t und dividieren es durch 3. t/3 ist die Anzahl der 3-Wochen-Perioden, die vergangen sind. Wenn t = 0 ist, dann haben wir 1,9^0, was 1 ergibt, und rechnen 40 ⋅ 1. Bei t = 3, haben wir 1,9^1, da wir 3/3 rechnen. Also haben wir jedes Mal ein Wachstum um 90%. Wir sind fertig.