Struktur in Exponentialterm

Angenommen, dass die Position eines Partikels als Funktion der Zeit durch diesen Ausdruck gegeben ist Minus d hoch minus t plus c hoch 4 geteilt durch c quadrat plus 1. c und d sind Konstanten und beide sind größer als 1. In diesem Video möchte ich zeigen, was wir herausbekommen, wenn wir uns diese Gleichung ansehen. Als erstes möchte, dass du darüber nachdenkst, was die Ausgangsposition ist, wenn ich die Ausgansposition durch c's und d's ausdrücke und dies versuche, zu vereinfachen. Also, halte das Video doch mal kurz an und versuche, einen Ausdruck für die Anfangsposition herauszufinden. Die Anfangsposition ist die Position, bei der wir sind wenn die Zeit gleich Null ist. Wir wollen also p von 0 finden. Und p von 0 ist gleich minus d hoch minus 0. Das schreibe ich gerade mal auf. Minus 0 plus c hoch 4 geteilt durch c Quadrat plus 1. d hoch minus 1 ist das Gleiche wie d hoch 0. Da wir wissen, dass d ungleich 0 ist, wissen wir, dass dies hier definiert ist. Alles, was nicht 0 ist und mit 0 potenziert wird, ergibt 1. Bei der 0 gibt es eine Debatte, was nun 0 hoch 0 ist. Aber hier können wir sicher sagen, dass dieser Ausdruck gleich 1 ist. Den Zähler können wir nun vereinfachen. Ich drehe die Reihenfolge um und erhalte: c hoch 4 minus 1 / c zum Quadrat plus 1. Und dies springt dir vielleicht gleich ins Auge als eine Differenz von Potenzen. Wir können dies auch schreiben als c zum Quadrat und dies wiederum zum Quadrat minus 1 zum Quadrat geteilt durch c Quadrat plus 1. Und das wiederum ist das Gleiche wie c zum Quadrat plus 1 mal c zum Quadrat minus 1. Und das ganze geteilt durch c zum Quadrat minus 1. Wir haben hier ein c Quadrat plus 1 im Zähler und im Nenner. Also können wir vereinfachen. Aus unserer Ausgangsposition wird nun c Quadrat minus 1. Das hat sich also sehr hübsch vereinfacht. Die nächste Frage, die ich dir stellen werde, ist folgende: Wir wissen, dass die Ausgangsposition im Zeitpunkt 0 für das Partikel c Quadrat minus 1 ist. Aber was passiert danach? Wird sich die Position weiter erhöhen? Wird sich die Position weiter sinken? Oder, wird sich die Position vielleicht erhöhen und dann sinken, oder sinken und dann erhöhen und immer wieder wechseln? Also, macht doch an dieser Stelle bitte eine Pause und denkt darüber nach, .. ..was mit dieser Position passiert. Wird sie weiter steigen? Wird sie weiter sinken? Oder macht sie irgendetwas ganz anderes? Nun, dann lasst uns nun die Frage beantworten, was mit der Position nach unserer Ausgangsposition passiert. Wir müssen uns eigentlich nur um diesen Term hier auf dieser Seite kümmern. Das ist d hoch minus t. Das ist der einzige Teil, der von t wirklich beeinflusst wird. Alle diese anderen Ausdrücke bleiben unverändert, wenn wir durch die Zeit schreiten. Was also passiert mit d hoch minus t in diesem Teil des ersten Terms, wenn t von 0 weitergeht. Um darüber nachzudenken: Lass es uns zeichnen. Lass uns zeichnen, wie die Funktion d hoch minus t ausschaut. d hoch minus t sieht folgendermassen aus. Wir wissen, dass d größer 1 ist. t befindet sich auf der Ordinate. Und p befindet sich auf der Abszisse. Wenn t gleich 0 ist, wird dieses hier gleich 1. Wir haben das schon gesehen. Was passiert nun, wenn t steigt? Angenommen, t steigt auf 1. Nun, das ergibt d hoch minus 1. Und das ist das Gleiche wie 1 geteilt durch d. Wir kennen den genauen Wert für d nicht. Aber wir wissen, dass 1 geteilt durch d kleiner 1 ist, weil d größer als 1 ist. Gehen wir also mal davon aus, dass 1 geteilt durch d sich irgendwo hier befindet. Also wird das irgendwie so aussehen. Wenn t gleich 2 ist, sind wir bei 1 geteilt durch d Quadrat, was irgendwo hier sein muss. Du siehst, wie sich dieser Term entwickelt, wenn t zunimmt. Wenn t zunimmt, wird d hoch minus t abnehmen. Und wieder einmal wissen wir das, weil d größer als 1 ist. Dieser Term hier nimmt monoton ab . Dieses hier nimmt ab. Dieser Teil hier. Und: wir addieren diesen Teil nicht, wir subtrahieren ihn. Wir subtrahieren gleich am Anfang. Am Anfang startet dieses mit 1. Wir subtrahieren also 1. Und dann beginnen wir immer kleinere und kleinere Teile abzuziehen. Wir ziehen Teile ab, die kleiner als 1 sind. Wenn das hier also abnimmt, wir das aber subtrahieren, dann subtrahieren wir immer kleinere und kleinere Teile. Das ganze hier, mit dem Minuszeichen, wird also wachsen. Es gibt einen anderen Weg, darüber nachzudenken. Wenn du minus d hoch minus t zeichnen würdest, würde dies ungefähr so aussehen. Es wäre einfach das Negative von diesem hier. Es würde also ungefähr so aussehen. Dazu nehme ich diese gelbe Farbe. Also, dieser ganze Term hier, minus d hoch minus t, steigt monoton. Und wir wissen, dass all die anderen Ausdrücke hier fixiert sind. Also ist der gesamte Ausdruck konstant zunehmend, beginnend bei t gleich 0. Und t wächst mit immer und immer positiveren Werten. Die letzte Frage, die ich dir stellen möchte, ist folgende: Was ist der Maximalwert hier? Welchen Wert wird das hier niemals erreichen? Ich könnte versuchen, ihm nahe zu kommen, aber ich werde nie ganz an ihn herankommen. Also, wir wissen bereits, dass das hier zunimmt. Aber nun lasst uns darüber nachdenken, was passiert, wenn t wirklich besonders groß wird. Tatsächlich könntest Du Dir vorstellen, dass t sich der Unendlichkeit nähert. Lass uns noch einmal dieses d hoch minus t anschauen, Du siehst, dass d hoch minus t immer kleiner wird, wenn t größer wird. Dieser Termin hier nähert sich der Null-Linie an, wenn t sich Richtung Unendlichkeit entwickelt. Also, wenn dieses sich 0 nähert bedeutet dies, dass wir 0 subtrahieren. Das gelbe hier, minus d hoch minus t, steigt, aber es steigt in immer geringerer Rate. Das ist minus d hoch minus t. Genau hier. Du siehst, dass es steigt, es aber niemals über diese horizontale Achse hinausgeht. Wenn wir also daran denken, wenn t Richtung Unendlichkeit geht, wird das alles hier 0. Unsere ganze Position nähert sich, aber erreicht es nie ganz.... das c hoch 4 geteilt durch c Quadrat plus 1. Also: wir nähern uns c hoch 4 geteilt durch c quadrat plus 1, aber wir kommen nie ganz dort an.