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Interpretation von Änderungen in Exponentialmodellen: mit Manipulation

Video-Transkript

Mondfische sind bekannt dafür, bei einer Ernährung mit Quallen sehr schnell zuzunehmen. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Tagen, seitdem der Mondfisch geboren wurde, und seiner Masse M(t) in Milligramm, wird von der folgenden Funktion dargestellt. Vervollständige den folgenden Satz über die tägliche Änderung in Prozent in der Masse des Mondfisches: "Jeden Tag gibt es eine Zunahme/Abnahme von ____% in der Masse des Mondfischs." Wir wissen bereits, dass der Mondfisch an Gewicht zunimmt, und wir sehen, dass, wenn t größer wird, der Exponent ebenfalls größer wird. Und wenn der anwachsende Exponent eine Basis hat, die größer als 1 ist, dann wächst M(t) an. Ich weiß also bereits, dass es sich um eine Zunahme in der Masse des Mondfischs handelt. Jetzt überlegen wir, wie viel jeden Tag hinzukommt. Schauen wir mal, ob wir die rechte Seite dieses Ausdrucks umformen können. (1,35)^((t/6) + 5) ist dasselbe wie (1,35)^5 ⋅ (1,35)^(t/6). Und das formen wir um in (1,35)^5 ⋅ ((1,35)^(1/6))^t. Jeden Tag wächst t um 1, wir nehmen also die Masse des vorherigen Tages und multiplizieren sie mit dieser Basis. Die Basis ist nicht so, wie ich sie geschrieben habe. Sie ist nicht 1,35, sondern (1,35)^(1/6). Ich zeichne eine Tabelle, um das zu verdeutlichen. Die algebraischen Umformungen, die ich eben gemacht habe, waren nur zur Vereinfachung, um eine Basis mit t im Exponenten zu bekommen. Wir haben t und M(t). So wie ich es jetzt geschrieben habe, wenn t = 0 ist, dann ist das hier 1, dann haben wir nur unsere Anfangsmasse 1,35^5. Und wenn t = 1 ist, dann rechnen wir 1,35^5 (Anfangsmasse) ⋅ 1,35^(1/6) (Basis). Wenn t = 2 ist, dann multiplizieren wir das, was wir bei t = 1 hatten, nochmal mit 1,35^(1/6). Jeden Tag wachsen wir also um unsere Basis an, also um 1,35^(1/6). Ich benutze jetzt einen Taschenrechner, was in dieser Aufgabe erlaubt ist. Was ergibt 1,35^(1/6)? Es ergibt ungefähr 1,051. Das ist also ungefähr 1,35^5 ⋅ 1,051^t. Wir haben also jeden Tag ein Wachstum um den Faktor 1,051. Wachstum um einen Faktor von 1,051 bedeutet, dass wir jeden Tag etwas mehr als 5% hinzufügen. Es werden jeden Tag 0,51 unserer Masse hinzugefügt, also 5,1%. Und wenn wir auf die nächste Prozentzahl runden, dann haben wir bei der Masse des Mondfisches jeden Tag ein Wachstum von 5%.