Interpretation von Änderungen in Exponentialmodellen: Einheiten ändern

Die Menge an Kohlendioxid (CO2) in der Atmosphäre steigt durch die Nutzung fossiler Brennstoffe rapide an. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Jahrzehnten, das markiere ich mal, da es keine typische Einheit ist, seitdem CO2-Level erstmalig gemessen wurden, und der Gesamtmenge an CO2 in der Atmosphäre, A_Jahrzehnt (t), in Teilchen pro Million, wird von der folgenden Funktion dargestellt. Das ist die Menge an CO2 als eine Funktion der Jahrzehnte, die vergangen sind. t steht in diesem Modell hier also für Jahrzehnte. Vervollständige den folgenden Satz über die jährliche Änderungsrate der Menge an CO2 in der Atmosphäre. Runde deine Antwort auf zwei Nachkommastellen. "Jedes Jahr erhöht sich die Menge CO2 in der Atmosphäre um einen Faktor von ____." Wenn hier "jedes Jahrzehnt" stehen würde, wäre das ziemlich einfach. Jedes Jahrzehnt wird t um 1 größer und wir multiplizieren wieder mit 1,06. Jedes Jahrzehnt haben wir also eine Erhöhung um 1,06. Aber was haben wir jedes Jahr? Ich finde es immer hilfreich, eine Tabelle zu erstellen, um den Überblick zu behalten. Wir haben t und A(t). Am Anfang unserer Forschung ist t = 0. 1,06^0 ist dann 1. Wir haben also 315 Teilchen pro Million. Was passiert ein Jahr später? Ein Jahr später ist 1/10 eines Jahrzehnts. Denk dran: t ist in Jahrzehnten angegeben. Ein Jahr später ist also 0,1 eines Jahrzehnts. Welche Menge an Kohlenstoff haben wir also 0,1 Jahrzehnt später? Wir rechnen 315 ⋅ 1,06^(0,1). Was ergibt das? 1,06^(0,1) ergibt ungefähr 1,0058. Das ist also dasselbe wie 315 ⋅ 1,00058. Es ist ungefähr dasselbe, ich habe etwas gerundet. Wenn ein weiteres Jahr vergeht, wir also bei t = 0,2 sind, dann haben wir 2/10 eines Jahrzehnts. Welchen Wert erhalten wir dann? Wir rechnen 315 ⋅ 1,06^(0,2), was dasselbe ist wie 315 ⋅ (1,06^0,1)^2. Wir multiplizieren also wieder mit 1,06^(0,1), und multiplizieren ein zweites Mal mit 1,0058. Anders betrachtet: Wenn wir dieses Modell in Jahre umformen wollen, dann haben wir 315 und unsere Basis wäre nicht 1,06, sondern 1,06^(0,1) bzw. 1,0058, und dann haben wir t im Exponenten, das dann für Jahre stehen würde. Hier steht es für Jahrzehnte. Wir haben etwas gerundet, also schreibe ich ≈ statt =. Also kann ich sagen, dass sich jedes Jahr die Menge an CO2 in der Atmosphäre ungefähr um einen Faktor von 1,0058 bzw. 1,06^(0,1) erhöht. Eigentlich sollten wir nur auf zwei Nachkommastellen runden, aber so ist es genauer, also lasse ich es stehen.