Exponentielles Modell - Textaufgabe: Medikamente lösen sich auf

Carlos hat eine Dosis eines verschriebenen Medikaments zu sich genommen. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t, in Stunden, seitdem er die erste Dosis genommen hat, und der Menge des Medikaments M(t), in Milligramm (mg), in seinem Blutkreislauf wird von der folgenden Funktion dargestellt. In wie vielen Stunden wird Carlos nur noch 1 mg des Medikaments in seinem Blutkreislauf haben? Wir müssen also nach M(t) = 1 mg auflösen. Das Ergebnis von M(t) ist immer in Milligramm. Wir lösen jetzt diese Gleichung. M(t) ist eine Exponentialfunktion und zwar 20 ⋅ e^(-0,8t). Wir setzen sie mit 1 gleich. Wir dividieren beide Seiten durch 20 und erhalten e^(-0,8t) = 1/20. 1/20 können wir auch als 0,05 schreiben. Ich glaube, wir werden sowieso mit Kommazahlen arbeiten müssen. Wie lösen wir das auf? Was würde passieren, wenn wir den natürlichen Logarithmus beider Seiten nehmen würden? Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus mit der Basis e. Ich schreibe es etwas um. Das ist 0,05. Ich nehme den natürlichen Logarithmus beider Seiten. Der natürliche Logarithmus findet heraus, welchen Exponenten e haben muss, damit wir e^(-0,8t) erhalten. e muss -0,8t als Exponenten haben. ln (e^(-0,8t)) ist dasselbe wie wenn ich log_e (e^(-0,8t) schreibe. Welchen Exponent muss e haben, damit wir e^(-0,8t) erhalten? Die Antwort lautet: -0,8t. Deshalb haben wir das auf der linken Seite stehen. Rechts haben wir ln (0,05). Jetzt dividieren wir beide Seiten durch -0,8, damit wir nach t auflösen können. Wir dividieren durch -0,8, und t ergibt diesen Term. Links haben wir jetzt nur noch ein t stehen, und rechts haben wir einen Term, den wir mit dem Taschenrechner ausrechnen können. Wir geben 0,05 ein und drücken auf die ln-Taste. Wir erhalten diesen Wert und dividieren ihn durch -0,8. Wir sollen das Ergebnis auf die nächste Hunderterstelle runden, also dauert es 3,74 Stunden, bis die Dosis 1 Milligramm erreicht. Begonnen haben wir bei 20 mg. Wenn t = 0 ist, haben wir 20 mg, nach 3,74 Stunden hat er nur noch 1 mg in seinem Blutkreislauf. Sein Körper hat den Rest davon verstoffwechselt.