Hauptinhalt
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8
Lektion 6: Exponentielle Modelle lösenExponentielles Modell - Textaufgabe: Medikamente lösen sich auf
Sal löst eine Exponentialgleichung auf, um eine Frage zu einem exponentiellen Modell zu beantworten.
Willst du an der Diskussion teilnehmen?
Noch keine Beiträge.
Video-Transkript
Carlos hat eine Dosis eines verschriebenen Medikaments zu sich genommen. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t, in Stunden, seitdem er die erste Dosis genommen hat, und der Menge des Medikaments M(t),
in Milligramm (mg), in seinem Blutkreislauf wird von der folgenden Funktion dargestellt. In wie vielen Stunden wird Carlos nur noch 1 mg
des Medikaments in seinem Blutkreislauf haben? Wir müssen also nach M(t) = 1 mg auflösen. Das Ergebnis von M(t) ist immer in Milligramm. Wir lösen jetzt diese Gleichung. M(t) ist eine Exponentialfunktion und zwar 20 ⋅ e^(-0,8t). Wir setzen sie mit 1 gleich. Wir dividieren beide Seiten
durch 20 und erhalten e^(-0,8t) = 1/20. 1/20 können wir auch als 0,05 schreiben. Ich glaube, wir werden sowieso
mit Kommazahlen arbeiten müssen. Wie lösen wir das auf? Was würde passieren, wenn wir den natürlichen
Logarithmus beider Seiten nehmen würden? Der natürliche Logarithmus ist
der Logarithmus mit der Basis e. Ich schreibe es etwas um. Das ist 0,05. Ich nehme den natürlichen Logarithmus beider Seiten. Der natürliche Logarithmus findet heraus, welchen Exponenten e haben muss, damit wir e^(-0,8t) erhalten. e muss -0,8t als Exponenten haben. ln (e^(-0,8t)) ist dasselbe wie
wenn ich log_e (e^(-0,8t) schreibe. Welchen Exponent muss e haben, damit wir e^(-0,8t) erhalten? Die Antwort lautet: -0,8t. Deshalb haben wir das auf der linken Seite stehen. Rechts haben wir ln (0,05). Jetzt dividieren wir beide Seiten durch
-0,8, damit wir nach t auflösen können. Wir dividieren durch -0,8, und t ergibt diesen Term. Links haben wir jetzt nur noch ein t stehen, und rechts haben wir einen Term, den wir
mit dem Taschenrechner ausrechnen können. Wir geben 0,05 ein und drücken auf die ln-Taste. Wir erhalten diesen Wert und dividieren ihn durch -0,8. Wir sollen das Ergebnis auf
die nächste Hunderterstelle runden, also dauert es 3,74 Stunden, bis die Dosis 1 Milligramm erreicht. Begonnen haben wir bei 20 mg. Wenn t = 0 ist, haben wir 20 mg, nach 3,74 Stunden hat er nur
noch 1 mg in seinem Blutkreislauf. Sein Körper hat den Rest davon verstoffwechselt.