Beziehung zwischen Exponentialen und Logarithmen: Graphen

Die 3 unten eingezeichneten Punkte liegen auf dem Graphen von y = b^x. Von diesen 3 Punkten ausgehend, trage durch Anklicken die 3 entsprechenden Punkte ein, die auf dem Graphen von y = log_b (x) liegen müssen. Ich habe einen Screenshot von dieser Aufgabe gemacht, damit ich darauf zeichnen kann. Was ist mit der ersten Funktion? Bei der ersten Funktion haben wir x und y = b^x. Wenn x = 0, dann ist y = 1. Das ist dieser Punkt hier. Wenn x = 1, dann ist b^1 = 4. y = 4. Anders ausgedrückt: 4 = b^1. Dadurch können wir ableiten, dass b = 4 sein muss. Das ist dieser Punkt. Dieser Punkt sagt uns, dass b^2 = 16 ist. Wenn x = 2, dann haben wir b^2 und y = 16. Jetzt wollen wir die 3 entsprechenden Punkte dieser Funktion eintragen. Ich zeichne noch eine Tabelle. Wir haben quasi die Umkehrfunktion, bei der das hier x ist, und wir herausfinden wollen, was y = log_b (x) ist. Welche Möglichkeiten gibt es hier? Wir nehmen diese Werte, da diese beiden Umkehrfunktionen voneinander sind. log ist die Umkehrfunktion von Exponenten. Wenn wir die Punkte 1, 4 und 16 nehmen, was ergibt y dann? y = log_b (1). Die Frage ist, welchen Exponenten b haben muss, um 1 zu erhalten. Wenn wir annehmen, dass b ≠ 0 ist, was eine vernünftige Annahme ist, da b mit verschiedenen Exponenten nicht 0 ergibt, dann ergibt das 0 für jeden b-Wert, der nicht 0 ist. Das ergibt 0. Wir haben den Punkt (1|0), das ist dieser Punkt hier. Du siehst, dass diese Punkte einander entsprechen, wir haben im Grunde die x- und y-Werte getauscht. Wenn wir eine Umkehrfunktion haben, dann spiegeln wir immer entlang der Geraden y = x, und hier haben wir eine eindeutige Spiegelung entlang dieser Geraden. Jetzt haben wir x = 4, und schauen uns an, was log_b (4) ergibt. Welchen Exponenten braucht b, um 4 zu erhalten? Wir sehen hier drüben, dass b^1 = 4 ist. Wir wissen also bereits, dass b^1 = 4 ist. Das hier drüben ergibt also 1. Wenn x = 4 ist, dann ist y = 1. Du siehst wieder, dass wir eine Spiegelung entlang der Geraden y = x haben. Wenn x = 16 ist, dann ist y = log_b (16). Welchen Exponenten braucht b, um 16 zu erhalten? Wir wissen bereits, dass b^2 = 16 ist, also ergibt das 2. Wenn x = 16 ist, dann ist y = 2. Wir haben im Grunde nur die x- und y-Werte für jeden dieser Punkte getauscht. Deshalb haben wir eine Spiegelung entlang der Geraden y = x. Jetzt machen wir das auf der eigentlichen Website. Du sollst durch die Aufgabe lernen, dass es sich um Umkehrfunktionen handelt. Ich zeichne die Punkte ein. Dieser Punkt entspricht diesem, x = 0, y = 1 entspricht x = 1, y = 0. Hier ist x = 1, y = 4 und entspricht x = 4, y = 1. Hier ist x = 2, y = 16, das entspricht x = 16, y = 2. Unsere Lösung ist richtig.