Beziehung zwischen Exponentialen und Logarithmen: Tabellen

Wir haben hier 2 Tabellen. Die erste gibt für jeden x-Wert den Wert von b^x an. Wenn x z.B. 1,585 ist, dann ist b^1,585 = 3. Das sagt uns, dass b^1,585 = 3 ist. Genauso sehen wir, dass b^2,322 = 5 ist. b^2,807 = 7. b^2,169 = 9. Die Tabelle rechts gibt uns für jeden y-Wert den Logarithmus zur Basis b von y an. Hier steht, dass log_b (a) = 0 ist. log_b (2) = 1. log_b (2c) = 1,585. log_b (10d) = 2,322. Das steht in dieser letzten Spalte. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und mithilfe dieser Informationen, und ohne Taschenrechner herauszufinden, was a, b, c und d ergeben. Nur durch Nachdenken, ohne Taschenrechner. Kannst du herausfinden, was a, b, c und d ergeben? Ich nehme mal an, du hast es versucht, also machen wir es jetzt gemeinsam. Hier haben wir einfach ein paar Zahlen. Wir müssen herausfinden, was b ist. Ich habe hier b^1,585 = 3. Ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll. Vielleicht hilft uns diese Tabelle. Die erste Spalte hier sagt uns, dass, wenn wir a für y einsetzen, log_b (a) = 0 ergibt. Das ist genau dasselbe, wie b^0 = a zu schreiben. Hier frage ich, welchen Exponenten b haben muss, um a zu erhalten. Die Antwort ist 0. Hier steht, dass b^0 = a ist. Was erhält man, wenn ein Wert, der nicht 0 ist, 0 als Exponenten hat? Wenn wir annehmen, dass b ≠ 0 ist, was eine vernünftige Annahme ist, da b diese ganzen anderen Expontenten hat und wir einen Wert erhalten, der ≠ 0 ist. Wir wissen also, dass b ≠ 0 ist, und alle Werte mit dem Exponten 0 ergeben 1. Das sagt uns, dass a = 1 ist. Wir haben einen Wert herausgefunden. a = 1. Jetzt schauen wir uns die nächste Spalte an. Was steht dort? Dort steht, dass log_b (2) = 1 ist. Es ist genau dasselbe, wie zu sagen, dass b im Exponenten 1 braucht, um 2 zu ergeben. In Exponentialform schreibe ich, dass b^1 = 2 ist. Ich habe 1 im Exponenten und erhalte 2? Was ist das für ein Wert? Das bedeutet, dass b = 2 sein muss. 2^1 = 2. Also ist b = 2. b^1 = 2. Du könntest sagen, dass b^1 = 2^1 ist. Was ebenfalls 2 ist. Also muss b = 2 sein. Das haben wir herausgefunden. Das hier ist eine 2. Es ergibt Sinn. 2^1,585 ergibt ungefähr 3. Machen wir weiter. Lass uns herausfinden, was c ist. Wir schauen uns diese Spalte an. In dieser Spalte haben wir log_b. Jetzt ist unser y = 2c. log_b (2c) = 1,585. In Exponentialform können wir es als b^1,585 = 2c schreiben. Was ergibt b^1,585? Hier drüben steht, dass b^1,585 = 3 ist, also ergibt das hier 3. Wir erhalten 2c = 3, wir dividieren beide Seiten durch 2, und erhalten c = 1,5. Das klappt sehr gut. Jetzt haben wir die letzte Spalte, und wir können das als log_b (10d) = 2,322 schreiben. Das bedeutet, dass der Exponent, den b haben muss, um 10d zu erhalten, 2,322 ist. In Exponentialform haben wir b^2,322 = 10d. Was ergibt b^2,322? Das steht hier. b^2,322 = 5. Das ergibt 5. Wir schreiben 10d = 5, dividieren beide Seiten durch 10, und erhalten d = 0,5. Fertig. Wir haben herausgefunden, was a, b, c und d ergeben, ohne einen Taschenrechner zu benutzen.