Logarithmen berechnen (fortgeschritten)

Lass uns das Logarithmieren üben. Wir schauen uns den Logarithmus zur Basis 2 von 8 an. Was ergibt das? Die Frage ist, welchen Exponenten die Basis 2 haben muss, um das Ergebnis 8 zu erhalten 2^1 = 2. 2^2 = 4. 2^3 = 8. Das ergibt also 3. Wir haben bereits solche Beispiele gemacht. Kommen wir zu einem interessanteren Beispiel. Was ergibt der Logarithmus zur Basis 8 von 2? Das ist interessant. Denk ein paar Sekunden darüber nach. Die Frage ist, welchen Exponenten 8 haben muss, um 2 zu erhalten. Ich habe also einen unbekannten Exponenten von 8, der das Ergebnis dieses Logarithmus ist. 8^x = 2. Wenn 2^3 = 8 ergibt, dann ist 8^(1/3) = 2. Also ist x = 1/3. 8^(1/3) = 2 bzw. ³√8 = 2. In diesem Fall ist x also 1/3. Dieser Logarithmus hier ergibt 1/3. Faszinierend. Machen wir weiter. Wir haben einen Logarithmus zur Basis 2. Anstatt 8, schreiben wir hier 1/8 hin. Ich gebe dir ein paar Sekunden, darüber nachzudenken. Wir wollen herausfinden, welchen Exponenten 2 haben muss, damit wir 1/8 erhalten. Wenn das also gleich x sein soll, bedeutet das also, dass 2^x = 1/8 ist. Wir wissen bereits, dass 2^3 = 8 ist. Wenn wir 1/8 erhalten wollen, was der Kehrwert von 8 ist, müssen wir -3 in den Exponenten von 2 setzen. 2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8. Welchen Exponenten braucht 2 also, um 1/8 als Ergebnis zu erhalten? Wir setzen -3 in den Exponenten. Also ist x = -3. Dieser Logarithmus ergibt also -3. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Was ergibt der Logarithmus zur Basis 8 von 1/2? Ich lösche ein paar alte Aufgaben. Die Frage ist, welchen Exponenten 8 braucht, damit wir 1/2 erhalten. Lass uns darüber nachdenken. Wir wissen bereits, dass 8^(1/3) = 2 ist. Wenn wir hier den Kehrwert von 2 wollen, müssen wir -1/3 in den Exponenten von 8 setzen. Ich schreibe es auf. 8^(-1/3) = 1/(8^(1/3)). Wir wissen bereits, dass ³√8 bzw. 8^(1/3) = 2 ist. Das ergibt 1/2. Welchen Exponenten braucht 8 also, damit wir 1/2 als Ergebnis erhalten? Die Antwort ist -1/3. Ich hoffe, das hilft dir weiter.