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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Lektion 1: Einführung in Logarithmen
Mathematik
Algebra 2
Exponenten und Logarithmen
Einführung in Logarithmen
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Einführung in den Logarithmen

Google Classroom
Wir lernen was Logarithmen sind und wie wir sie auswerten. 

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Du solltest dich mit Exponenten auskennen vielleicht auch mit negativen Exponenten.

Was du in dieser Lektion lernst

Du wirst die Bedeutung von Logarithmus kennenlernen und einige grundlegende Logarithmen berechnen. Dies wird dich für den zukünftigen Umgang mit logarithmischen Ausdrücken und Funktionen vorbereiten.

Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus ist eine andere Art, über Exponenten nachzudenken.
Zum Beispiel wissen wir, dass die start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start text, point, end text Potenz von start color #11accd, 2, end color #11accd gleich start color #e07d10, 16, end color #e07d10 ist. Dies wird durch die exponentielle Gleichung start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10 ausgedrückt.
Angenommen jemand hätte uns nun gefragt, ,,start color #11accd, 2, end color #11accd hoch wie viel ergibt start color #e07d10, 16, end color #e07d10?'' Dann wäre die Antwort start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Dies wird durch die logarithmische Gleichung log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f ausgedrückt, die ,,Logarithmus zur Basis zwei von sechzehn ist vier'' gelesen wird.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Beide Gleichungen beschreiben die gleiche Beziehung zwischen den Zahlen start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f und start color #e07d10, 16, end color #e07d10, bei denen start color #11accd, 2, end color #11accd die Basis und start color #0d923f, 4, end color #0d923f der Exponent ist.
Der Unterschied ist, dass die exponentielle Form die Potenz, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, isoliert, während die logarithmische Form den Exponent, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, isoliert.
Hier sind weitere Beispiel für äquivalente logarithmische und exponentielle Gleichungen.
Logarithmische FormExponentielle Form
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definition des Logarithmus

Verallgemeinert man die Beispiele von oben, so führt uns das auf die formale Definition des Logarithmus.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Beide Gleichungen beschreiben die gleiche Beziehung zwischen start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd, und start color #0d923f, c, end color #0d923f:
  • start color #11accd, b, end color #11accd ist die start color #11accd, start text, B, a, s, i, s, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f ist der start color #0d923f, start text, E, x, p, o, n, e, n, t, end text, end color #0d923f und
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 heißt start color #e07d10, start text, P, o, t, e, n, z, w, e, r, t, end text, end color #e07d10.

Ein hilfreicher Hinweis

Wenn wir eine exponentielle Gleichung in logarithmische Form oder eine logarithmische Gleichung in exponentielle Form umschreiben, ist es hilfreich daran zu denken, dass die Basis des Logarithmus gleich der Basis des Exponent ist.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

In den folgenden Problem wirst du zwischen den exponentiellen und den logarithmischen Gleichungen umwandeln.
1) Welcher der folgenden Aussagen entspricht 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Wähle eine Lösung.

2) Welcher der folgenden Aussagen entspricht 5, cubed, equals, 125?
Wähle eine Lösung.

3) Schreibe log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 in Exponentialform.

4) Schreibe log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 in Exponentialform.

Logarithmen auswerten

Großartig! Jetzt verstehen wir die Beziehung zwischen Exponenten und Logarithmen. Lasst uns sehen, ob wir Logarithmen auswerten können.
Zum Beispiel, bestimme log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Fangen wir damit an diesen Ausdruck gleich x zu setzen.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Schreiben wir dies als eine exponentielle Gleichung er gibt sich Folgendes:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
4 hoch was ist 64? start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 und deshalb log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Mit etwas mehr Erfahrung wirst du merken, dass du einige dieser Schritte zusammenfassen kannst und log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis mit der Frage beschreiben kannst: "4 zu welcher Potenz ist 64?"

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Denke dran: Wenn du log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis berechnet, kannst du fragen: ,,start color #11accd, b, end color #11accd hoch wieviel ist start color #e07d10, a, end color #e07d10?''
5) log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

6) log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

7) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

8) log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Challenge Aufgabe

9*) log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Beschränkungen für die Variablen

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis ist definiert, wenn die Basis b positiv—und nicht gleich 1—und das Argument a positiv ist. Diese Einschränkungen beruhen auf der Verbindung zwischen Logarithmen und Exponenten.
EinschränkungArgumentation
b, is greater than, 0In einer Exponentialfunktion ist die Basis b immer positiv definiert.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c bedeutet, dass b, start superscript, c, end superscript, equals, a gilt. Weil eine positive Zahl hoch jeder Potenz positiv ist, also b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0 gilt, folgt das a, is greater than, 0 gilt.
b, does not equal, 1Nehmen wir für einen Moment an, dass b 1 sein könnte. Betrachten wir jetzt die Gleichung log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. Die äquivalente exponentielle Form wäre 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Aber dies kann nicht wahr sein, weil 1 hoch jeder Potenz immer 1 ist. Also folgt dass b, does not equal, 1 gilt.

Spezielle Logarithmen

Während die Basis eine Logarithmus viele unterschiedliche Werte haben kann, gibt es zwei Basen, die häufiger als anderen Werte vorkommen.
Insbesondere haben die meisten Taschenrechner nur Tasten für diese zwei Arten von Logarithmen. Probieren wir sie aus!

Der Zehnerlogarithmus

Der Zehnerlogarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis 10 ist (,,Basis-10 Logarithmus'').
In kurzschreibweise können wir bei die Basis aus lassen. Wenn die Basis fehlt, kann man vor der Basis 10 ausgehen.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Der natürliche Logarithmus

Der Natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis die Zahl e ist. (,,Basis-e Logarithmus'').
An Stadt die Basis als e zu schreiben, geben wir den Logarithmus mit natural log an.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Diese Tabelle fasst zusammen, was wir über diese zwei speziellen Logarithmen wissen müssen:
NameBasisReguläre SchreibweiseVerkürze Schreibweise
Zehnerlogarithmus10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Natürlicher Logarithmuselog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Während sich die Notation unterscheidet ist, ist die Grundidee hinter die Bewertung der Logarithmus genau die gleiche!

Warum lernen wir Logarithmen?

Wie du gerade gelernt hast, kehrt der Logarithmus den Exponenten um. Aus diesem Grund ist er für die Lösung von Exponentialgleichungen sehr hilfreich.
Zum Beispiel kann das Ergebnis für 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 als der Logarithmus x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. angegeben werden. Du lernst, wie dieser logarithmische Ausdruck in den folgenden Stunden auszuwerten.
Logarithmische Ausdrücke und Funktionen für sich gesehen interessant und tauchen sehr oft in unserer Umwelt auf. Zum Beispiel wurden viele physikalische Phänomene mit logarithmischen Skalen gemessen.

Wie geht es weiter?

Lernen wir mehr über Logarithmusregeln, die uns helfen logarithmische Ausdrücke umzuschreiben und über die Regel zur Basisumrechnung die es uns erlaubt der Wert eines Logarithmus mit einem Taschenrechner auszurechnen.

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