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Hauptinhalt

Einführung in den Logarithmen

Wir lernen was Logarithmen sind und wie wir sie auswerten. 

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Du solltest dich mit Exponenten auskennen vielleicht auch mit negativen Exponenten.

Was du in dieser Lektion lernst

Du wirst die Bedeutung von Logarithmus kennenlernen und einige grundlegende Logarithmen berechnen. Dies wird dich für den zukünftigen Umgang mit logarithmischen Ausdrücken und Funktionen vorbereiten.

Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus ist eine andere Art, über Exponenten nachzudenken.
Zum Beispiel wissen wir, dass die 4. Potenz von 2 gleich 16 ist. Dies wird durch die exponentielle Gleichung 24=16 ausgedrückt.
Angenommen jemand hätte uns nun gefragt, ,,2 hoch wie viel ergibt 16?'' Dann wäre die Antwort 4. Dies wird durch die logarithmische Gleichung log2(16)=4 ausgedrückt, die ,,Logarithmus zur Basis zwei von sechzehn ist vier'' gelesen wird.
24=16log2(16)=4
Beide Gleichungen beschreiben die gleiche Beziehung zwischen den Zahlen 2, 4 und 16, bei denen 2 die Basis und 4 der Exponent ist.
Der Unterschied ist, dass die exponentielle Form die Potenz, 16, isoliert, während die logarithmische Form den Exponent, 4, isoliert.
Hier sind weitere Beispiel für äquivalente logarithmische und exponentielle Gleichungen.
Logarithmische FormExponentielle Form
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

Definition des Logarithmus

Verallgemeinert man die Beispiele von oben, so führt uns das auf die formale Definition des Logarithmus.
logb(a)=cbc=a
Beide Gleichungen beschreiben die gleiche Beziehung zwischen a, b, und c:
  • b ist die Basis,
  • c ist der Exponent und
  • a heißt Potenzwert.

Ein hilfreicher Hinweis

Wenn wir eine exponentielle Gleichung in logarithmische Form oder eine logarithmische Gleichung in exponentielle Form umschreiben, ist es hilfreich daran zu denken, dass die Basis des Logarithmus gleich der Basis des Exponent ist.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

In den folgenden Problem wirst du zwischen den exponentiellen und den logarithmischen Gleichungen umwandeln.
1) Welcher der folgenden Aussagen entspricht 25=32?
Wähle eine Lösung.

2) Welcher der folgenden Aussagen entspricht 53=125?
Wähle eine Lösung.

3) Schreibe log2(64)=6 in Exponentialform.

4) Schreibe log4(16)=2 in Exponentialform.

Logarithmen auswerten

Großartig! Jetzt verstehen wir die Beziehung zwischen Exponenten und Logarithmen. Lasst uns sehen, ob wir Logarithmen auswerten können.
Zum Beispiel, bestimme log4(64).
Fangen wir damit an diesen Ausdruck gleich x zu setzen.
log4(64)=x
Schreiben wir dies als eine exponentielle Gleichung er gibt sich Folgendes:
4x=64
4 hoch was ist 64? 43=64 und deshalb log4(64)=3.
Mit etwas mehr Erfahrung wirst du merken, dass du einige dieser Schritte zusammenfassen kannst und log4(64) mit der Frage beschreiben kannst: "4 zu welcher Potenz ist 64?"

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Denke dran: Wenn du logb(a) berechnet, kannst du fragen: ,,b hoch wieviel ist a?''
5) log6(36)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

6) log3(27)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

7) log4(4)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

8) log5(1)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Challenge Aufgabe

9*) log3(19)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Beschränkungen für die Variablen

logb(a) ist definiert, wenn die Basis b positiv—und nicht gleich 1—und das Argument a positiv ist. Diese Einschränkungen beruhen auf der Verbindung zwischen Logarithmen und Exponenten.
EinschränkungArgumentation
b>0In einer Exponentialfunktion ist die Basis b immer positiv definiert.
a>0logb(a)=c bedeutet, dass bc=a gilt. Weil eine positive Zahl hoch jeder Potenz positiv ist, also bc>0 gilt, folgt das a>0 gilt.
b1Nehmen wir für einen Moment an, dass b 1 sein könnte. Betrachten wir jetzt die Gleichung log1(3)=x. Die äquivalente exponentielle Form wäre 1x=3. Aber dies kann nicht wahr sein, weil 1 hoch jeder Potenz immer 1 ist. Also folgt dass b1 gilt.

Spezielle Logarithmen

Während die Basis eine Logarithmus viele unterschiedliche Werte haben kann, gibt es zwei Basen, die häufiger als anderen Werte vorkommen.
Insbesondere haben die meisten Taschenrechner nur Tasten für diese zwei Arten von Logarithmen. Probieren wir sie aus!

Der Zehnerlogarithmus

Der Zehnerlogarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis 10 ist (,,Basis-10 Logarithmus'').
In kurzschreibweise können wir bei die Basis aus lassen. Wenn die Basis fehlt, kann man vor der Basis 10 ausgehen.
log10(x)=log(x)

Der natürliche Logarithmus

Der Natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis die Zahl e ist. (,,Basis-e Logarithmus'').
An Stadt die Basis als e zu schreiben, geben wir den Logarithmus mit ln an.
loge(x)=ln(x)
Diese Tabelle fasst zusammen, was wir über diese zwei speziellen Logarithmen wissen müssen:
NameBasisReguläre SchreibweiseVerkürze Schreibweise
Zehnerlogarithmus10log10(x)log(x)
Natürlicher Logarithmuseloge(x)ln(x)
Während sich die Notation unterscheidet ist, ist die Grundidee hinter die Bewertung der Logarithmus genau die gleiche!

Warum lernen wir Logarithmen?

Wie du gerade gelernt hast, kehrt der Logarithmus den Exponenten um. Aus diesem Grund ist er für die Lösung von Exponentialgleichungen sehr hilfreich.
Zum Beispiel kann das Ergebnis für 2x=5 als der Logarithmus x=log2(5). angegeben werden. Du lernst, wie dieser logarithmische Ausdruck in den folgenden Stunden auszuwerten.
Logarithmische Ausdrücke und Funktionen für sich gesehen interessant und tauchen sehr oft in unserer Umwelt auf. Zum Beispiel wurden viele physikalische Phänomene mit logarithmischen Skalen gemessen.

Wie geht es weiter?

Lernen wir mehr über Logarithmusregeln, die uns helfen logarithmische Ausdrücke umzuschreiben und über die Regel zur Basisumrechnung die es uns erlaubt der Wert eines Logarithmus mit einem Taschenrechner auszurechnen.

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