Graphen von Logarithmus-Funktionen

Wir haben hier einen Graphen und vier mögliche Funktionsdefinitionen für diesen Graphen. Pausiere das Video und überlege, welche dieser Funktionsdefinitionen in diesem Graph hier drüben dargestellt wird. Ich nehme an, du hast es probiert. Jetzt machen wir es gemeinsam. Zuerst sehen wir, dass sie alle die Logarithmusbasis 2 in der Funktionsdefinition haben. Schauen wir uns an, wie y = log_2 (x) überhaupt aussieht, und dann überlegen wir, was passiert, wenn wir 1 addieren oder subtrahieren würden, oder die Funktion verschieben würden. Wir brauchen ein paar interessante Werte. Wir haben x und y. Wir nehmen x = 2. Ich habe 2 gewählt, denn wenn x = 2 ist, dann haben wir log_2 (2). Welchen Exponenten braucht 2, damit wir 2 erhalten? Die Antwort lautet 1. Als nächstes haben wir x = 8. log_2 (8) = 3. Ich habe 2^3 und erhalte 8. Bei 4 haben wir log_2 (4), was 2 ergibt. 2^2 = 4. Bei 2 haben wir log_2 (2), was 1 ergibt. 2^1 = 2. Kommen wir zu x = 1. Welchen Exponenten braucht 2, damit wir 1 erhalten? Die Antwort lautet 0. 2^0 = 1. Wie würden wir 1/2 erhalten? Welchen Exponenten braucht 2, damit wir 1/2 erhalten? 2^(-1) = 1/2. Was ist mit 1/4? 2^(-2) = 1/4. 2^(-3) = 1/8. Jetzt zeichne ich diese Punkte. Wenn x = 8 ist, dann ist y = 3. Wenn x = 4 ist, dann ist y = 2. Wenn x = 2 ist, dann ist y = 1. Wenn x = 1 ist, dann ist y = 0. Ich glaube, du sieht die Form schon. Wenn x = 1/2 ist, dann ist y = -1. Wenn x = 1/4 ist, dann ist y = -2. Ich glaube, du siehst es. Wenn x = 1/8 ist, dann ist y = -3. Unser Graph sieht ungefähr so aus. Ich verbinde nur die Punkte. Das ist das Verhalten, das wir erwartet haben. Wenn x sehr, sehr groß wird, fragen wir uns, welchen Exponenten 2 braucht, um dieses x zu erhalten. Er wächst an, aber um eine immer kleiner werdende Rate. Und wir sehen, dass, wenn x sich 0 von rechts nähert, und 0 immer näher kommt, dass 2 immer negativere Werte benötigt. Wenn wir gegen 0 streben wird der Logarithmus also sehr, sehr stark negativ. Wir erreichen x = 0 nie ganz. Wenn du eine 0 hier einsetzen würdest, welchen Exponenten müsste 2 dann haben, damit wir 0 erhalten? Es funktioniert nicht. Wir könnten in die Nähe von 0 kommen, indem wir 2 einen sehr, sehr stark negativen Exponenten geben, und diese Funktion hier ist nicht einmal für nicht-positive x-Werte definiert. Deswegen ist sie nicht für Werte ≤ 0 definiert. Dieser Definitionsbereich hier ist nur für positive x-Werte. Das ist log_2 (x). Wie unterscheidet sich dieser Graph hier? Das offensichtlichste ist, dass er entlang der x-Achse gespiegelt ist. Das zeigt uns, dass wir -log_2 (x) haben. Wir zeichnen das jetzt. Wie sieht y = -log_2 (x) aus? Wir spiegeln jeden dieser Punkte entlang der x-Achse, also haben wir da einen Punkt, hier haben wir noch einen, das hier geht durch diesen Punkt hier, und dann mal schauen, anstatt 1/2 sieht es so aus. y = -log_2 (x) sieht ungefähr so aus. Wir nähern uns dem blauen Graphen. Das ist y = -log_2 (x). Was ist der Unterschied zwischen dem grünen und dem blauen Graphen? Man sieht, dass der blaue Graph im Grunde der grüne Graph ist, der um 2 nach links verschoben wurde. Er wurde um 2 nach links verschoben. Bei jedem dieser Punkte findet eine Verschiebung um 2 nach links statt. Wie verschieben wir um 2 nach links? Indem wir das x durch x + 2 ersetzen. In der ursprünglichen Funktion -log_2 (x) haben wir die Asymptote bei x = 0. Wenn wir jetzt den Ausdruck x + 2 = 0 haben, dann ist x = -2. Wenn x = -2 ist, dann haben wir die Asymptote hier. Du kannst Werte ausprobieren, wenn du möchtest. Du kannst von all diesen Werten 2 subtrahieren, und wenn du dann 2 addierst, erhältst du wieder diese Werte. Wenn wir um 2 nach links verschieben, ersetzen wir x durch x + 2. Das ist der gezeichnete Graph. Probier gern Werte aus, falls du mir nicht glaubst.