Grafische Beziehung zwischen 2ˣ und log₂(x)

In diesem Video möchte ich zuerst eine klassische Exponentialfunktion zeichnen, und dann eine verwandte Logarithmusfunktion zeichnen, und zeigen, wie die beiden optisch verwandt sind. Ich zeichne die Funktionen y = 2^x und y = log_2 (x). Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, eine Wertetabelle für beide zu erstellen, und zu versuchen, sie beide in dasselbe Koordinatenkreuz einzuzeichnen. Versuche herauszufinden, wie sie sich zueinander verhalten, und überlege, warum das so ist. Wir beginnen mit y = 2^x. Ich erstelle eine Wertetabelle mit x-Werten und den dazugehörigen y-Werten. Ich wähle die Werte -2, -1, 0, 1, 2 und 3. Wir haben immer diesen x-Wert im Exponenten von 2. 2^(-2) = 1/4. 2^(-1) = 1/2. 2^0 = 1. 2^1 = 2. 2^2 = 4. 2^3 = 8. Jetzt zeichnen wir. 2^3 = 8. 2^2 = 4. 2^1 = 2. 2^0 = 1. 2^(-1) = 1/2. 2^(-2) = 1/4. 2^(-3) = 1/8 und liegt ungefähr hier. Der Graph sieht also ungefähr so aus. Es ist ein klassischer Graph, der manchmal auch als exponentieller Hockeyschläger bezeichnet wird, da die Krümmung des Graphen der eines Hockeyschlägers ähnelt. Wenn wir nach links gehen und x immer negativer wird, nähert sich unser Wert der 0, erreicht sie aber nie. Wenn wir 2^(-1000000) haben, erhalten wir eine sehr, sehr kleine Zahl, die sehr, sehr nahe an der 0 ist, aber nicht genau 0. Wir haben eine horizontale Asymptote bei x = 0, was bedeutet, dass die x-Achse eine horizontale Asymptote ist. Jetzt kommen wir zu y = log_2 (x). Lass uns zuerst über eine andere Möglichkeit nachdenken, die Funktion darzustellen. Diese Funktion fragt: Welchen Exponenten y braucht 2, damit wir x erhalten? Umformuliert können wir auch 2^y = x schreiben, um eine gleichwertige Aussage zu erhalten. Du siehst, dass zwischen diesen beiden Funktionen eigentlich nur x und y vertauscht wurden. Hier haben wir 2^x = y. Hier haben wir 2^y = x. Die x- und y-Werte sind nur vertauscht. Wir können also diese beiden Spalten einfach tauschen. Wir haben bei x die Werte 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8. Die Frage hier lautet: Wenn x = 1/4 ist, welchen Exponenten muss 2 haben, damit wir 1/4 erhalten? 2 muss den Exponenten -2 haben. 2^(-1) = 1/2. 2^0 = 1. 2^1 = 2. 2^2 = 4. 2^3 = 8. Wir haben nur diese beiden Spalten getauscht. Jetzt zeichnen wir. Bei x = 1/4 haben wir y = -2. Bei x = 1/2 haben wir y = -1. Bei x = 1 haben wir y = 0. Bei x = 2 haben wir y = 1. Bei x = 4 haben wir y = 2. Bei x = 8 haben wir y = 3. Der Graph sieht so aus. Du siehst wahrscheinlich schon das Muster. Diese beiden Graphen sind Spiegelungen voneinander. Woran entlang müssen wir spiegeln, um diese Spiegelungen zu erhalten? Wir müssen entlang y = x spiegeln. Anders gesagt: Wenn du die beiden Achsen tauschen würdest, würdest du den anderen Graphen erhalten. Das ist es, was wir im Grunde machen. Entlang dieser Gerade sind die Graphen symmetrisch, und das liegt daran, dass sie Umkehrfunktionen voneinander sind. Wir haben die x- und y-Werte getauscht. Wenn x immer negativer wird, strebt y gegen 0. Hier sehen wir, dass y immer negativer wird, je mehr x gegen 0 strebt, bzw. je mehr x gegen 0 strebt, desto negativer wird y. Ich hoffe, das hilft dir dabei, die Beziehung zwischen einer Exponentialfunktion und einer Logarithmusfunktion zu verstehen. Sie sind im Grunde Umkehrfunktionen voneinander, was man an den Graphen sieht, die Spiegelungen voneinander entlang der Gerade y = x sind.