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e als Grenzwert

Sal setzt die Diskussion über e fort und gräbt dieses Mal tiefer in die mathematische Definition von e. Erstellt von Sal Khan

Video-Transkript

In einem vorherigen Video haben wir Zinseszinsen behandelt, und den Ausdruck (1 + 1/n)^n erhalten. In dem Beispiel hatten wir einen Kredithai, der 100% Zinsen berechnet hat, dafür steht diese 1. Und als nur einmal im Jahr aufgezinst wurde, hatten wir 100% auf das Jahr gesehen und n = 1. Also hatten wir (1 + (100%/1))^1. Du musstest das Doppelte der ursprünglichen Kreditsumme zurückbezahlen. Wenn n = 2 ist, dann haben wir (1 + (1/2))^2, was 2,25 ergibt. Du zinst die Hälfte der Zinsen auf, also 100%/2, aber du zinst zweimal auf. Dann haben wir immer weiter gemacht, und es sind interessante Dinge passiert. Ich wiederhole es nochmal mit dem Taschenrechner. Ich möchte zeigen, was passiert, wenn wir immer größere Werte für n bekommen. Im letzten Video war unser höchster Wert n = 365, und es schien so, als würden wir uns einer magischen Zahl nähern, aber jetzt gehen wir noch weiter. Ich setze sehr hohe Zahlen ein. (1 + (1/1.000.000))^1.000.000. Bevor ich das Ergebnis anzeigen lasse, denken wir darüber nach, was hier los ist. Wenn n immer größer wird, strebt dieser Teil hier immer mehr gegen 1, wird 1 aber nie exakt erreichen. Wir addieren 1 + 1/1.000.000. Es ist sehr nahe an 1, aber nicht exakt 1. Wir setzen 1.000.000 in den Exponenten, und normalerweise, wenn man das macht, bekommt man eine unglaublich riesige Zahl, aber es gibt einen Hinweis, dass 1^1.000.000 nur 1 ergibt. Wenn wir der 1 sehr nahe kommen, wird das vielleicht keine unglaublich riesige Zahl. Wenn wir es ausrechnen, sehen wir, dass das stimmt. Ich erhalte 2,71828 und so weiter. Jetzt setze ich eine noch größere Zahl ein. Ich schreibe wieder 1 + 1, und benutze jetzt die wissenschaftliche Notation. (1 + (1/1(10^7)))^1(10^7), wobei 10^7 für 10 Millionen steht. Was kommt heraus? Jetzt erhalten wir 2,718281692. Jetzt setze ich eine noch größere Zahl ein. Anstatt 7, setze ich jetzt 8 ein, und wir rechnen (1 + (1/100.000.000))^100.000.000. Wir erhalten 2,71828181487. Du siehst, dass wir uns der Eulerschen Zahl e nähern. Du siehst, dass wir bereits 7 Nachkommastellen haben, wenn wir 100 Millionen in den Exponenten setzen. Wir nähern uns also dieser Zahl, die wir auch als Grenzwert oder Limes bezeichnen können, wenn n gegen ∞ strebt. Wenn n immer größer wird, wird das Ergebnis nicht grenzenlos, es strebt nicht gegen ∞. Es strebt gegen diese Zahl, die wir auch als Eulersche Zahl oder e bezeichnen. Wir nennen diese Zahl e und sie ist fast so berühmt wie die Ziffern von π. e = 2,7182818 und so weiter. Die Zahlen wiederholen sich nie, es ist also eine unendliche Zahlenfolge. Genauso wie bei π. π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. e ist eine weitere dieser verrückten Zahlen, die es im Universum gibt. Und in anderen Videos auf Khan Academy erkläre ich genauer, warum sie so magisch und mystisch ist. Es ist jetzt schon cool, dass, wenn ich 1 mit 1/n addiere, und n in den Exponenten setze, und diese Zahl immer größer wird, sie gegen diese Zahl strebt. Aber noch verrückter ist, dass wir sehen werden, dass diese Zahl, die aus den Zinseszinsen entsteht, also e, π, sowie die imaginäre Einheit i, die als i² = -1 definiert ist, alle auf magische Weise zusammenpassen, was in zukünftigen Videos behandelt wird. Um e zu verstehen, kannst du dir das vorherige Beispiel anschauen, in dem wir uns 1 Dollar geliehen und 100% über ein Jahr hinweg berechnet haben. Als unser n = 1 war, bedeutete es, dass wir nur über eine Zeitperiode hinweg berechnet haben. Wenn n = 2 ist, dann zinsen wir über 2 Zeitperioden auf. Wenn n = 3 ist, dann zinsen wir über 3 Zeitperioden auf. Wenn n gegen ∞ strebt, kannst du es so sehen, als würdest du ständig aufzinsen, jedes Zigtausendstel einer Sekunde. In jedem Moment zinst du einen sehr geringen Zinssatz auf, strebst gegen eine unendliche Anzahl an Zeitperioden und erhältst diese Zahl.