Die Regel zur Änderung der Basis beim Logarithmus anwenden

Wir haben hier zwei verschiedene Logarithmus-Ausdrücke, einen in Gelb, den anderen in Pink. Pausiere wie immer das Video, und versuche, diese beiden Logarithmus-Ausdrücke zu vereinfachen. Und ich gebe dir einen Tipp, bevor du anfängst: Wenn du darüber nachdenkst, wie du die Basis der Logarithmus-Ausdrücke ändern könntest, kannst du sie sehr gut vereinfachen. Und ich gebe dir noch einen Tipp: Wenn ich über einen Basiswechsel rede, dann meine ich, dass log_a (b) = (log(b)) / (log(a)) ist. Du wunderst dich vielleicht, warum wir da Logarithmen, aber keine Basis hingeschrieben haben. Diese Gleichung stimmt, egal, welche Basis du wählst, solange du bei allen dieselbe Basis hast. Das könnte bei beiden die Basis 9 sein. Normalerweise nimmt man die Basis 10, weil die meisten Taschenrechner eine Taste für die Basis 10 haben. Hier sagen wir, dass der Exponent, den a haben muss, damit wir b erhalten, gleich dem Exponenten ist, den 10 haben muss, damit wir b erhalten, dividiert durch den Exponenten, den 10 haben muss, um a zu erhalten. Das ist sehr nützliches Wissen, wenn man es mit Logarithmen zu tun hat. Und ich beweise das in einem anderen Video. Aber jetzt wollen wir die Gleichung anwenden. Wir schauen uns jetzt den gelben Ausdruck an: 1 / log_b (4). Ich schreibe den Ausdruck nochmal auf: 1 / log_b (4). Wir wenden jetzt diesen Ausdruck hier drüben an, um den gelben Ausdruck umzuformen. Wir beginnen wieder mit 1 /, und anstatt log_b (4) zu schreiben, können wir log(4) schreiben, und wenn ich die Basis nicht hinschreibe, können wir annehmen, dass die Basis 10 ist. Wir schreiben also 1 / ((log (4)) / (log (b))). Wenn ich durch einen Bruch bzw. rationalen Ausdruck dividiere, ist das dasselbe, wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Das ergibt also 1 multipliziert mit dem Kehrwert davon. Also 1 ⋅ (log(b) / log(4)), was natürlich einfach nur log(b) / log(4) ergibt. Ich habe einfach nur mit 1 multipliziert. Jetzt können wir in die andere Richtung gehen, und dieses Hilfsmittel benutzen, das ich am Anfang des Videos erklärt habe. Das ist dasselbe wie log_4 (b). Wir haben hier also ein sehr schönes Ergebnis, wir haben keine Werte eingesetzt, aber wir haben ein sehr allgemeines b. Wenn ich den Kehrwert eines logarithmischen Ausdrucks nehme, dann kehre ich die Basen quasi um. Das ist log_b. Welchen Exponenten muss b haben, damit wir 4 erhalten? Und hier habe ich den Exponenten, den 4 haben muss, um b zu erhalten. Es sieht vielleicht ein bisschen magisch aus, bis wir hier richtige Zahlen einsetzen. Dann ergibt es einen Sinn, besonders in Bezug auf Exponenten, die aus Brüchen bestehen. Wir wissen z.B., dass 4³ = 64 ist. Wenn ich also log_4 (64) hätte, würde es 3 ergeben. Und wenn ich log_64 (4) hätte, müsste ich 1/3 in den Exponenten setzen. Sie sind also Kehrwerte voneinander. Es ist also gar nicht magisch, aber es ist trotzdem schön zu sehen, wie alles zusammenpasst. Jetzt kommen wir zum nächsten Ausdruck. log_c (16) ⋅ log_2 (c). Zuerst schreibe ich beide Logarithmen als rationalen Ausdruck mit der Basis 10. Zuerst schreibe ich log(16). Denk dran: Wenn keine Basis dabeisteht, dann handelt es sich immer um Basis 10. Im Nenner haben wir log (c). Jetzt schreiben wir den rechten Ausdruck um. log (c) / log (2). Ich könnte dort eine kleine 10 hinschreiben, falls dir das weiterhilft. Das muss ich aber nicht. Das ist interessant: Wenn ich mit log (c) multipliziere und durch log (c) dividiere, und beide die Basis 10 haben, dann kürzen sie sich weg und übrig bleibt log (16) / log (2). Und wir wissen, wie es in die andere Richtung funktioniert. Es ergibt log_2 (16). Wir sind noch nicht fertig. Welchen Exponenten muss 2 haben, damit wir 16 erhalten? Die 2 braucht 4 als Exponenten. Wir brauchen 4 als Exponenten der 2, um 16 zu erhalten. Das ist ziemlich cool, da ich am Anfang mit dieser Variablen c begonnen habe, und es so aussah, als würden wir sehr abstrakt arbeiten. aber wir können diesen Ausdruck hier ausrechnen, und erhalten die Zahl 4. Dieser Ausdruck wäre ein sehr tolles Rätsel in einer Schnitzeljagd.