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Beweis der Regel zur Änderung der Basis beim Logarithmus

Sal beweist die Regel zur Änderung der Basis beim Logarithmus, logₐ(b)=logₓ(b)/logₓ(a). Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

In diesem Video möchte ich den Basiswechselsatz für Logarithmen beweisen. Er sagt uns, dass, wenn wir log_a (x) herausfinden wollen, dies durch Logarithmen mit einer anderen Basis erreichen kann. Das ist gleich log_b (x) / log_b (a). Das ist ein sehr nützliches Ergebnis. Wenn dein Taschenrechner nur den natürlichen Logarithmus oder die Basis 10 hat, kannst du das benutzen, um den Logarithmus mit jeder beliebigen Basis herauszufinden. Wenn du z.B. log_3 (25) herausfinden willst, kannst du auf deinem Taschenrechner entweder die Logarithmusbasis 10 oder 2 verwenden. Wir können also sagen, dass das gleich log_10 (25) ist, und die meisten Taschenrechner haben eine Taste für Basis 10, dividiert durch log_10 (3). Das ist eine Anwendung des Basiswechselsatzes. Jetzt wollen wir ihn beweisen. Wir setzen log_a (x) mit einer neuen Variablen gleich. Wir nehmen einfach mal y. Wir setzen das hier also mit y gleich. Das ist nur eine andere Schreibweise für a^y = x. Ich schreibe das x etwas versetzt. Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig, das ist nur eine andere Schreibweise hiervon. Jetzt kommen wir zur Logarithmusbasis b. Ich wende jetzt log_b auf beide Seiten dieser Gleichung an. Ich wende log_b also auf die linke Seite an, und log_b auf die rechte Seite an. Wir wissen durch unsere Logarithmuseigenschaften, dass der Logarithmus von einem Wert mit einem Exponenten genau dasselbe ist, wie der Exponent, der mit dem Logarithmus von diesem Wert multipliziert wird. log_b (a^y) ist also dasselbe wie y ⋅ log_b (a). Das ist eine traditionelle Logarithmuseigenschaft. Wir beweisen sie woanders. Und wir wissen bereits, dass es mit der rechten Seite gleichwertig ist. Es ergibt log_b (x). Und jetzt lösen wir einfach nach y auf. Das ist aufregend, da y dieser Ausdruck hier war. Wenn wir jetzt aber nach y auflösen, lösen wir nach y in Bezug auf die Logarithmusbasis b auf. Um nach y aufzulösen, müssen wir nur beide Seiten dieser Gleichung durch log_b (a) dividieren. Wir dividieren also auf der linken Seite durch log_b (a), und dividieren auf der rechten Seite durch log_b (a). Links kürzen sich diese beiden weg. Übrig bleibt: y = log_b (x) / log_b (a). Ich füge es hier ein. Das ist unser Basiswechselsatz. Denk daran: y ist dasselbe wie das hier drüben. Zur Verdeutlichung: y = log_a (x) = log_b (x) / log_b (a). Und das ist unser Basiswechselsatz.