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Logarithmen berechnen: Regel zur Änderung der Basis

Sal nähert log₅(100) an, indem er es unter Verwendung der Regel zur Änderung der Basis als log(100)/log(5) umschreibt und dann mit einem Rechner berechnet. Erstellt von Sal Khan und Monterey Institut für Technologie und Bildung

Video-Transkript

Benutze den Basiswechselsatz, um log_5 (100) zu finden, und runde dann auf die nächste Tausenderstelle. Der Basiswechselsatz ist eine nützliche Formel, vor allem wenn du einen Taschenrechner benutzt, weil die meisten Taschenrechner es nicht erlauben, willkürlich die Basis eines Logarithmus zu ändern. Sie haben Funktionen für die Basis e, was der natürliche Logarithmus ist, und die Logarithmus-Basis 10. Du musst also deine Basis verändern. Dafür haben wir den Basiswechselsatz. Falls wir noch Zeit haben, erkläre ich dir, warum er Sinn ergibt und wie wir ihn ableiten. Der Basiswechselsatz lautet: log_a (b) = (log_x (b)) / (log_x (a)). Das hilft uns weiter, da wir so unsere Basis ändern können. Hier ist unsere Basis a und wir können sie in Basis x umändern. Wenn unser Taschenrechner also eine Funktion mit einer bestimmten Basis x hat, können wir zu dieser Basis umwandeln. Normalerweise e oder Basis 10. Basis 10 ist eine einfache Möglichkeit. Allgemein, wenn du jemanden log(x) schreiben siehst, bedeutet das immer log_10 (x). Wenn jemand ln(x) schreibt, bedeutet das immer log_e (x), und e ist natürlich die Zahl 2,71 und so weiter. Jetzt wenden wir das auf diese Aufgabe an. Wir sollen log_5 (100) finden. Dieser Basiswechselsatz sagt aus, dass das genau dasselbe ist wie (log_10 (100)) / (log_10 (5)). Wir brauchen nicht mal einen Taschenrechner, um den Zähler auszurechnen. Welchen Exponenten braucht 10, damit wir 100 erhalten? 2. Der Zähler ergibt also 2. Wir können also zu 2 / (log_10 (5)) vereinfachen. Jetzt können wir unseren Taschenrechner benutzen, da die Logarithmus-Funktion auf einem Taschenrechner die Basis 10 hat. Wir benutzen also den Taschenrechner. Wenn irgendwo nur log steht, bedeutet das immer Basis 10. Wenn wir ln drücken, bedeutet das Basis e. log ohne weitere Informationen bedeutet also log_10. Wir rechnen 2 / (log(5)) und erhalten 2,861, da wir auf den nächsten Tausender runden sollen. Es ergibt also ungefähr 2,861. Wir können das überprüfen, indem wir diese Zahl in den Exponenten von 5 setzen. Wir sollten als Ergebnis 100 erhalten. Und das ergibt Sinn, denn 5² = 25, 5³ = 125, und das ist zwischen den beiden und es ist näher an dem Exponenten 3 als an der 2. Und diese Zahl ist näher an der 3 als an der 2. Jetzt überprüfen wir es. Ich nehme also 5 und setze 2,861 in den Exponenten. Ich verwende die gerundete Zahl. Was erhalte ich? Ich erhalte 99,94. Wenn ich alle Zahlen eintippen würde, wäre ich sehr nahe an 100. Das sieht also gut aus. Das ist der Exponent, den 5 haben muss, um 100 zu erhalten. Jetzt denken wir darüber nach, warum diese Eigenschaft Sinn ergibt. Ich schreibe log_a (b). Ich setze es mit irgendeiner Zahl gleich, und nenne diese Zahl einfach mal c. Das bedeutet, dass a^c = b ist. Das ist die Exponentialschreibweise. Das ist die Logarithmusschreibweise. Das ergibt b. Jetzt können wir den Logarithmus mit jeder Basis auf beiden Seiten ausrechnen. Welchen Exponenten muss 10 haben, damit das herauskommt? 10 muss dieselbe Zahl im Exponenten haben, um das zu ergeben, weil diese beiden Dinge gleichwertig sind. Wir berechnen also den Logarithmus beider Seiten, den Logarithmus mit derselben Basis. Und ich verwende log_x, um das zu beweisen. Ich wende also log_x auf beide Seiten an. Das ist log_x(a^c) = log_x(b). Und wir wissen von unseren Logarithmus-Eigenschaften, dass log (a^c) = c ⋅ log (a) ist. Und das ergibt natürlich log_x (b). Wenn du nach c auflösen willst, dividierst du einfach beide Seiten durch log_x (a). Du erhältst dann c = log_x (b) / log_x (a). Das ist es, was c war. c war log_a (b). Es ergibt log_a (b). Ich schreibe es nochmal in den richtigen Farben auf. c = log_x (b) / log_x (a). Und von hier wissen wir, dass wir es einfach übernehmen können, das ergibt ebenfalls c. So haben wir es definiert. Ich kopiere es und füge es ein. Das ist ebenfalls gleich c. Und wir sind fertig. Wir haben den Basiswechselsatz bewiesen. log_a (b) = log_x (b) / log_x (a). In diesem Beispiel war a = 5, b = 100 und die Basis x, zu der wir gewechselt haben, war 10.