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Einführung in die Regel zur Änderung der Basis beim Logarithmus

Lerne wie jeder Logarithmus mitteln Logarithmen mit einer anderen Basis geschrieben werden kann. Dies ist sehr nützlich um Logarithmen mit dem Taschenrechner zu bestimmen!
Angenommen, wir wollen den Wert des Ausdrucks log2(50) finden. Weil 50 keine rationale Potenz von 2 ist, ist es schwierig, diese ohne einen Taschenrechner zu berechnen.
Allerdings können die meisten Taschenrechner Logarithmen nur mit Basis-10 und Basis-e berechnen. Also müssen wir, um den Wert von log2(50) zu finden, zuerst die Basis des Logarithmus wechseln.

Die Regel des Basiswechsels

Wir können die Basis jedes Logarithmus mittels folgende Regel wechseln:
Hinweise:
  • Wenn du diese Eigenschaft verwende, kannst du jede Basis x wählen.
  • Wie immer müssen die Argumente des Logarithmus positiv sein und die Basis des Logarithmus muss positiv und ungleich 1 sein, damit diese Eigenschaft gilt!

Beispiel: Auswertung von log2(50)

Wenn dein Ziel ist den Wert des Logarithmus zu finden, ändere die Basis zu 10 oder e, weil dieser Logarithmus auf den meisten Taschenrechner berechnet werden kann.
Deshalb ändern wir die Basis von log2(50) zu 10.
Um dies zu tun, wenden wir die Basiswechselsregel mit b=2, a=50, und x=10 an.
log2(50)=log10(50)log10(2)Die Regel des Basiswechsels=log(50)log(2)Sincelog10(x)=log(x)
Wir können jetzt den Wert mit den Taschenrechner berechnen.
log2(50)5,644

Überprüfe dein Verständnis

1) Werte log3(20) aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

2) Werte log7(400) aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

3) Werte log4(0,3) aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Die Rechtfertigung der Regel des Basiswechsels

An disem Punkt denkst du vielleicht: ,,Toll, aber warum funktionieret diese Regel?''
logb(a)=logx(a)logx(b)Die Regel des Basiswechsels
Um dies zu untersuchen, betrachten wir den ursprünglichen Ausdruck log2(50). Wenn wir log2(50)=n setzen, dann folgt 2n=50.
Weil die zwei Werte gleich sind, können wir den Logarithmus in jeder Basis von beiden Seiten der Gleichung nehmen. Jetzt haben wir:
2n=50logx(2n)=logx(50)Wenn Y=Z, dann logx(Y)=logx(Z)nlogx(2)=logx(50)Potenzregeln=logx(50)logx(2)Dividiere beide Seiten durch logx(2)
Weil n=log2(50), haben wir log2(50)=logx(50)logx(2), wie wir gewünscht!
Mit der gleichen Logik können wir die Regel des Basiswechsels beweisen. Ändere einfach 2 zu b und 50 zu a und du hast den Beweis!

Challenge Aufgaben

1) Werte log(81)log(3) ohne einem Taschenrechner aus.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

2) Welche dieser Ausdrück ist gleich log(6)log6(a)?
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