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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Lektion 4: Die Formel für die Änderung der Basis beim Logarithmus
Mathematik
Algebra 2
Exponenten und Logarithmen
Die Formel für die Änderung der Basis beim Logarithmus
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Einführung in die Regel zur Änderung der Basis beim Logarithmus

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Lerne wie jeder Logarithmus mitteln Logarithmen mit einer anderen Basis geschrieben werden kann. Dies ist sehr nützlich um Logarithmen mit dem Taschenrechner zu bestimmen!
Angenommen, wir wollen den Wert des Ausdrucks log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis finden. Weil 50 keine rationale Potenz von 2 ist, ist es schwierig, diese ohne einen Taschenrechner zu berechnen.
Allerdings können die meisten Taschenrechner Logarithmen nur mit Basis-10 und Basis-e berechnen. Also müssen wir, um den Wert von log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis zu finden, zuerst die Basis des Logarithmus wechseln.

Die Regel des Basiswechsels

Wir können die Basis jedes Logarithmus mittels folgende Regel wechseln:
Hinweise:
  • Wenn du diese Eigenschaft verwende, kannst du jede Basis start color #0d923f, x, end color #0d923f wählen.
  • Wie immer müssen die Argumente des Logarithmus positiv sein und die Basis des Logarithmus muss positiv und ungleich 1 sein, damit diese Eigenschaft gilt!

Beispiel: Auswertung von log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Wenn dein Ziel ist den Wert des Logarithmus zu finden, ändere die Basis zu 10 oder e, weil dieser Logarithmus auf den meisten Taschenrechner berechnet werden kann.
Deshalb ändern wir die Basis von log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis zu start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Um dies zu tun, wenden wir die Basiswechselsregel mit b, equals, 2, a, equals, 50, und x, equals, 10 an.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Die Regel des Basiswechsels=log⁡(50)log⁡(2)Sincelog⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&\small{\gray{\text{Die Regel des Basiswechsels}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{Since} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Wir können jetzt den Wert mit den Taschenrechner berechnen.
log⁡2(50)≈5,644\begin{aligned}\phantom{\log_2(50)}\approx 5{,}644 \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

1) Werte log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

2) Werte log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

3) Werte log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Die Rechtfertigung der Regel des Basiswechsels

An disem Punkt denkst du vielleicht: ,,Toll, aber warum funktionieret diese Regel?''
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction, left arrow, start color #e07d10, start text, D, i, e, space, R, e, g, e, l, space, d, e, s, space, B, a, s, i, s, w, e, c, h, s, e, l, s, end text, end color #e07d10
Um dies zu untersuchen, betrachten wir den ursprünglichen Ausdruck log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Wenn wir log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n setzen, dann folgt 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
Weil die zwei Werte gleich sind, können wir den Logarithmus in jeder Basis von beiden Seiten der Gleichung nehmen. Jetzt haben wir:
2n=50log⁡x(2n)=log⁡x(50)Wenn Y=Z, dann log⁡x(Y)=log⁡x(Z)nlog⁡x(2)=log⁡x(50)Potenzregeln=log⁡x(50)log⁡x(2)Dividiere beide Seiten durch log⁡x(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log_x(2^n) &= \log_x(50)&&\small{\gray{\text{Wenn $Y=Z$, dann $\log_x(Y)=\log_x(Z)$}}} \\\\ n\log_x(2)&=\log_x(50)&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\\\ n &= \dfrac{\log_x(50)}{\log_x(2)} &&\small{\gray{\text{Dividiere beide Seiten durch $\log_x(2)$}}}\end{aligned}
Weil n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, haben wir log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, wie wir gewünscht!
Mit der gleichen Logik können wir die Regel des Basiswechsels beweisen. Ändere einfach 2 zu b und 50 zu a und du hast den Beweis!

Challenge Aufgaben

1) Werte start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction ohne einem Taschenrechner aus.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

2) Welche dieser Ausdrück ist gleich log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
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