Warum synthetische Division funktioniert

Ich werde nun genau denselben Ausdruck vereinfachen, aber dieses Mal mit algebraischer schriftlicher Division. Und hoffentlich werden wir sehen, dass synthetische Division uns exakt dasselbe Ergebnis gibt. Wir werden die Verbindungen zwischen synthetischer und algebraischer schriftlicher Division sehen. Fangen wir an. Wenn wir also eine algebraische schriftliche Division durchführen, ich habe sie hier vorbereitet, denken wir zuerst darüber nach, wie oft der Term mit dem höchsten Grad, in diesem Fall das x, in den Term mit dem höchsten Grad hier reinpasst, in diesem Fall 3x³. x passt 3x²-mal in 3x³. Also schreiben wir das an die x²-Stelle. 3x²-mal. Du siehst vielleicht schon die Parallele. Bei der synthetischen Division haben wir die 3 direkt unten hingeschrieben, und diese 3 stand für 3x². Diese 3 und diese 3x² stehen also für genau dasselbe. Hier mussten wir aber etwas nachdenken. Wir mussten herausfinden, dass x 3x²-mal in 3x passt. Aber hier haben wir einfach nur die 3 nach unten verschoben. Wie funktioniert das? Der Grund, warum wir die 3 ohne Nachdenken einfach nach unten verschoben haben, ist, weil wir angenommen haben, dass, um diese einfache Art der synthetischen Division durchzuführen, wir nur ein x hier drüben haben. Wir hatten kein 3x. Wir hatten kein 4x. Wir hatten kein x². Wir hatten einfach nur ein x. Und wenn du den Term höchsten Grades durch x teilst, ist dein Koeffizient genau dasselbe. Er ist nur ein Grad niedriger. Du gehst also von 3x³ zu 3x², also genau derselbe Koeffizient. In unserer synthetischen Division hier drüben ist das hier der x²-Term. Du bist also von 3x³ zu 3x² gegangen. Wir haben durch x dividiert. Und wir haben das ohne Nachdenken getan, da wir angenommen haben, dass wir nur mit einem 1x ersten Grades hier drüben zu tun haben. Machen wir weiter, um weitere Parallelen zu finden, und zu sehen, dass wir im Grunde genommen exakt dasselbe tun. Nehmen wir nun 3x² und multiplizieren sie mit x + 4. 3x² ⋅ x = 3x³. Und 3x² ⋅ 4 = 12x². Und jetzt wollen wir das subtrahieren. Wir ziehen es voneinander ab. Diese Terme kürzen sich weg und es bleiben 4x² - 12x² übrig. Und das ergibt -8x². Du siehst wahrscheinlich wieder Parallelen. Du hattest hier drüben 4x². Und du hast hier 4x². Wir haben nur den Koeffizienten geschrieben, aber dafür steht er. 4x², wir haben hier die 4 hingeschrieben. Dann haben wir 12x² subtrahiert. Wir sind auf die 12 gekommen, indem wir 3 mit 4 multipliziert haben, und dann haben wir subtrahiert. Hier multiplizieren wir 3 ⋅ (-4). Wir multiplizieren quasi 3 mit 4 und subtrahieren dann. Deswegen haben wir das Negative davon hingeschrieben, damit wir nicht vergessen, diese Reihe zu subtrahieren. Dadurch können wir sie weiterhin addieren. Das haben wir im Grunde genommen gemacht. Wir haben diese 4 mit 3 multipliziert. Und jetzt subtrahieren wir sie. Wir erhalten -12x². Dann haben wir subtrahiert und -8x² erhalten. Du fragst dich vielleicht, ob das dieselbe -8 wie dort drüben ist. Nicht ganz, denn diese -8 hier drüben steht tatsächlich für -8x. Das ist Teil unserer Vereinfachung. Wenn wir das durch das dividieren, erhalten wir 3x² - 8x + 30. Hier drüben in der algebraischen schriftlichen Division fragen wir uns dann: Wie oft passt x + 4 in -8x² ? x passt in -8x² genau -8x-mal. x passt -8x-mal hinein. Nochmal: Der Grund, warum wir die -8 hier hinschreiben können, ist, dass wir wissen, dass wir nur durch 1x dividieren. Du hast also exakt denselben Koeffizienten, nur einen Grad niedriger. Das hier ist also unser x-Term, und hier drüben ist er auch. Viele der Vereinfachungen kommen daher, dass wir mit der synthetischen Division annehmen, dass das 1x ist. Machen wir weiter. Wir multiplizieren also -8x mit diesem Term hier drüben. -8x ⋅ x = -8x². Dann rechnen wir -8x ⋅ 4 = -32x. Wir können all diese Terme nach unten übertragen, damit es etwas einfacher wird. Wir haben -2x. Und hier haben wir -1. Nochmal: Wenn wir eine traditionelle algebraische schriftliche Division durchführen, subtrahieren wir das von hier oben. Wenn wir subtrahieren, ist das dasselbe, wie das Negative davon zu addieren. Diese Terme kürzen sich weg. Es bleiben -2x + 32x übrig. Das ergibt 30x. Und dann können wir die -1 herunterbringen, wenn wir wollen. Wir bringen die -1 mit nach unten. Diese 30 hat hier denselben Koeffizienten. Aber diese 30 sollte hier oben sein. Sie ist Teil unseres Endergebnisses. Und wir bekommen sie, weil wir wissen, dass wir hier ein x hatten, als wir die synthetische Division durchgeführt haben. 30x dividiert durch x ergibt einfach nur 30. Diese 30 und diese 30 sind genau gleich. Und dann multiplizieren wir. 30 ⋅ x = 30x. 30 ⋅ 4 = 120. Und dann subtrahieren wir das von dem. Wir rechnen -1 - 120 = -121, was unser Rest ist, und exakt das, was wir hier drüben haben. Ich hoffe, du erkennst die Verbindung. Weil wir davon ausgehen, dass wir durch x plus oder minus etwas dividieren, konnten wir einige vereinfachende Annahmen machen. Immer, wenn du das durch x dividierst, weißt du, dass es denselben Koeffizienten haben wird, nur einen Grad niedriger. Und das haben wir durchgehend gemacht. Dadurch war es etwas einfacher, etwas schneller, und hat weniger Platz benötigt.