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Einführung in die synthetische Division von Poylnomen

Video-Transkript

In diesem Ausdruck dividieren wir ein Polynom dritten Grades durch ein Polynom ersten Grades. Und wir könnten diesen Ausdruck durch traditionelle algebraische Division vereinfachen. Aber in diesem Video werde ich dir eine etwas andere Technik vorstellen, die synthetische Division heißt. Synthetische Division wird dir in diesem Video vielleicht wie Hexenwerk vorkommen. In den nächsten Videos werde ich dir erklären, warum diese Technik Sinn ergibt, und warum du dieselben Ergebnisse wie bei der traditionellen algebraischen Division erhältst. Ich persönlich mag die synthetische Division nicht so gerne, da sie sehr, sehr, sehr algorithmisch ist. Ich bevorzuge die traditionelle algebraische schriftliche Division. Aber du wirst sehen, dass diese Methode einige Vorteile hat. Sie ist manchmal schneller. Und du benötigst weniger Platz auf deinem Papier. Also legen wir jetzt los mit der synthetischen Division. Wir wollen diesen Ausdruck vereinfachen. Bevor wir anfangen, ist es wichtig, zwei Dinge im Hinterkopf zu behalten. Wir führen die grundlegendste Form der synthetischen Division durch. Und um diesen grundlegenden Algorithmus, diesen Prozess, durchzuführen, musst du nach zwei Dingen in dem unteren Ausdruck suchen. Als erstes muss es ein Polynom ersten Grades sein. Du hast hier also nur ein x. Du hast dort kein x², x³, x⁴ oder so etwas. Die andere Sache ist, dass der Koeffizient hier eine 1 ist. Es gibt Wege, sie auch mit einem anderen Koeffizienten durchzuführen, aber dann müssten wir unsere synthetische Division noch ein bisschen erweitern. Was ich dir also jetzt zeigen werde, funktioniert, wenn du etwas in der Form von x plus oder minus etwas anderem hast. Jetzt können wir die synthetische Division durchführen. Zuerst schreibe ich alle Koeffizienten für dieses Polynom im Zähler auf. Ich schreibe alle auf. Wir haben eine 3. Wir haben eine 4 bzw. +4. Wir haben eine -2. Und eine -1. Verschiedene Leute zeichnen hier verschiedene Arten von Zeichen, je nachdem, wie sie die synthetische Division durchführen. Aber das hier ist die traditionelle Art. Lass hier etwas Platz für eine weitere Reihe Zahlen. Deswegen habe ich den Strich etwas weiter unten gezogen. Dann schauen wir uns den Nenner an. Speziell schauen wir uns an, was genau x hier plus oder minus gerechnet wird. Wir sehen also, dass wir hier eine +4 haben. Anstatt +4 zu schreiben, schreiben wir das Negative davon. Das Negative wäre also -4. Jetzt sind wir vorbereitet und können unsere synthetische Division durchführen. Und es wird dir wie Hexenwerk vorkommen. In kommenden Videos erkläre ich dir, warum es funktioniert. Zuerst bringen wir diesen ersten Koeffizienten einfach gerade nach unten. Du schreibst also die 3 dorthin. Dann multiplizierst du, was du hier hast, mit -4. Du multiplizierst es mit -4. 3 ⋅ (-4) = -12. Dann addierst du die 4 zur -12. 4 + (-12) = -8. Dann multiplizierst du -8 mit -4. Ich glaube, du siehst das Muster. -8 ⋅ (-4) = 32. Jetzt rechnen wir -2 + 32 und erhalten 30. Dann multiplizierst du die 30 mit -4 und erhältst -120. Und dann addierst du die -1 mit -120 und erhältst -121. Zuletzt sagst du dir, dass du dort einen Term hast. In dieser einfachen Version der synthetischen Division haben wir im Nenner nur x plus oder minus einen Wert, also können wir dort nur einen Term haben. Also grenzt du genau so einen Term rechts ab. Und wir haben im Grunde genommen unsere Antwort, obwohl es einem wie Hexenwerk vorkommt. Um das zu vereinfachen erhältst du hier drüben den konstanten Term, du kannst ihn auch als Term 0-ten Grades betrachten. Das wird ein x-Term. Und das wird ein x²-Term. Von dort aus kannst du weitermachen, der erste Term ist konstant, das hier wird ein x-Term, das hier ein x²-Term. Wenn wir mehr hätten, hätten wir einen x³-Term, einen x⁴-Term und so weiter. Das ergibt also 3x² - 8x + 30. Das hier drüben kannst du als Rest betrachten, also -121/(x + 4). Es ließ sich nicht ohne Rest dividieren. -121/(x + 4). Du hättest auch sagen können, dass das der Rest ist, und du dadurch -121/(x + 4) hast. Und dass das +30 - 8x +3 x² ergibt. Ich hoffe, das ergibt Sinn. Ein weiteres Beispiel folgt im nächsten Video. Und dann reden wir darüber, warum das eigentlich funktioniert.