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Beweis des Restpolynom-Satzes

Es scheint verrückt zu sein, den Restpoylnom-Satz zu beweisen, aber Sal zeigt, wie du es in weniger als sechs Minuten schaffen kannst!

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Video-Transkript

Ich möchte dir den Beweis des Restpolynom-Satzes zeigen. Und um diesen Beweis etwas konkreter zu gestalten, fange ich mit dem Beispiel an, das wir in dem Video zur Einführung des Restpolynom-Satzes behandelt haben. Wir haben gesehen, dass, wenn man 3x² - 4x + 7 nimmt, und durch x - 1 dividiert, 3x - 1 mit einem Rest von 6 erhält. Wie wissen wir bei der schriftlichen Polynom-Division, dass wir bei unserem Rest angekommen sind? Wenn wir bei einem Ausdruck angekommen sind, der einen niedrigeren Grad hat als der Divisor, also das, wodurch wir teilen. In diesem Beispiel hätten wir diese Rechnung als f(x) umschreiben können. Ich schreibe es mal auf. Wir hätten schreiben können: 3x² - 4x + 7 = (x - 1) ⋅ dem Quotienten hier drüben, bzw. (x - 1) ⋅ 3x - 1. Es ergibt also (3x - 1) ⋅ dem Divisor (x - 1). Wenn du diese beiden Dinge multiplizierst, erhältst du nicht exakt diesen Ausdruck. Du musst den Rest noch hinzufügen. Also + r, für den Rest. Ich schreibe den tatsächlichen Rest auf: +6. Die Analogie hier ist exakt dieselbe wie bei der traditionellen Division. Ich zeige sie dir einfach. Wenn ich 25/4 rechnen würde, würdest du sagen, dass 4 6-mal in 25 passt, da 6 ⋅ 4 = 24 ist. Du würdest subtrahieren und einen Rest von 1 erhalten. Oder du könntest sagen, dass 25 = 6 ⋅ 4 + 1 ist. Wir haben exakt dasselbe gemacht, aber in Ausdrücken dargestellt. Ich habe mit dem Beweis noch nicht begonnen, ich möchte nur, dass du damit vertraut bist, was ich hier drüben geschrieben habe. Wenn ich dieses Polynom durch diesen Ausdruck dividiere, und diesen Quotienten erhalte, ist das dasselbe, wie wenn ich sage, dass dieses Polynom gleich (3x - 1) ⋅ (x - 1) + 6 ist. Das stimmt im Allgemeinen. Werden wir ein bisschen abstrakter. Das ist unser f(x). f(x) ist gleich dem Quotienten. Ich nenne ihn q(x). Das hier ist q(x). f(x) ist also gleich dem Quotienten q(x) ⋅ (x - a), das ist unser (x - a), in diesem Fall ist a = 1, aber ich möchte es allgemeiner darstellen. Also (x - a) + den Rest. Wir wissen, dass der Rest eine Konstante ist, da der Rest einen niedrigeren Grad als x - a haben wird. x - a ist ein Term ersten Grades. Um einen niedrigeren Grad zu erhalten, müssen wir den nullten Grad haben. Es muss also eine Konstante sein. Das stimmt also allgemein. Es stimmt für jedes Polynom f(x), das durch jedes mögliche (x - a) dividiert wird. Es stimmt einfach. Es stimmt für jedes f(x) und (x - a). Was passiert, wenn wir uns f(a) anschauen? Naja, wenn f(x) so geschrieben werden kann, könnten wir f(a) = q(a) ⋅ (a - a) + r schreiben. Was ergibt das alles? Nun ja, (a - a) = 0, und mir ist egal, was q(a) ist, denn, wenn du es mit 0 multiplizierst, ergibt das alles 0. f(a) ergibt also r. Und du bist fertig. Das ist der Beweis des Restpolynom-Satzes. Für jede mögliche Funktion, wenn du sie durch (x - a) dividierst, erhältst du den Quotienten q(x) und den Rest r, und kann dann in dieser Form geschrieben werden. Wenn sie in dieser Form geschrieben ist, und du f(a) untersuchst, und a dort einsetzt, siehst du, dass f(a) gleich dem Rest sein wird. Das ist der Restpolynom-Satz. Wir sind fertig. Es ist einer der einfacheren Beweise für etwas, das einem am Anfang wie Magie vorkommt.