Symmetrie von algebraischen Modellen

Aber zuerst erinnern wir uns der Bedeutung der Symmetrie von Funktionen.

Nun werfen wir einen Blick auf ein Beispiel.

Die in einer Feder, $E(x)$‍, in Joule gespeicherte Energie, ist eine Funktion der Auslenkung der Feder, $x$‍, in Metern, aus ihrem entspannten Zustand, wobei ein positives $x$‍ eine gedehnte Feder anzeigt und ein negatives $x$‍ eine komprimierte Feder anzeigt. Der Graph von $y=E(x)$‍ ist unten gezeigt.

Was können wir über den Kontext von durch die Symmetrie des Graphen lernen?

Wir wenden unser Wissen über Symmetrie auf die Funktion $E$‍ an.

Wenn man den Graph der Funktion $E$‍ an der $y$‍-Achse spiegelt, landet er auf sich selbst.

Also ist die Funktion $E$‍ eine gerade Funktion. Algebraisch bedeutet dies, dass $E(-x)=E(x)$‍ für alle $x$‍.

Was bedeutet “$E(-x)=E(x)$‍ für alle $x$‍"?

Weil die Aussage für alle $x$‍ wahr ist, können wir sagen, dass $E(-x)=E(x)$‍ wahr ist für $x=2$‍, $x=4$‍, $x=10$‍, etc. Zuerst wollen wir darüber nachdenken, was diese Aussage für einen spezifischen $x$‍ Wert bedeutet, in diesem Fall für $x=2$‍.

Wenn $x=2$‍, wird diese Aussage $E(-2)=E(2)$‍.

In dem wir uns bewusst werden, für was jede einzelne Variable steht, können wir diese Interpretation besser verstehen. Denke daran, dass ein positiver Eingabewert für eine Dehnung und ein negativer Eingabewert für eine Komprimierung der Feder steht und dass der Ausgabewert für die in der Feder gespeicherte Energie steht.

Angesichts dessen sehen wir, dass $E(-2)=E(2)$‍ bedeutet, dass eine $\text{um }2\text{ Metern komprimierte Feder}$‍ die gleiche Menge an $\text{ Energie}$‍ enthält wie die $\text{gleiche um }2\text{ Meter gestreckt Feder}$‍.

Wir sind jetzt bereit die allgemeinere Aussage $E(-x)=E(x)$‍ zu interpretieren was unser Hauptziel ist.

Wenn wir die oben genannten Beispiele yur Orientierung nehmen, sehen wir, dass $E(x)=E(x)$‍ bedeutet, dass eine Feder, die um $x$‍ Meter komprimiert wurde, die gleiche Menge Energie enthält wie eine Feder die um $x$‍ Meter gestreckt wurde.

Anders ausgedrückt: Eine Feder um einen gewissen Betrag komprimiert speichert dieselbe Menge Energie wie eine Feder, welche um denselben Betrag gedehnt wurde.

Versuchen wir ein weiteres Beispiel.

Pranav verwendet normalerweise $20$‍ Kilogramm Holz pro Tag in seinem Holzofen, um sein Haus auf $25$‍ Grad Celsius zu halten. Er versucht, die Menge an Holz, $w$‍, die er verbrennt zu variieren, um zu sehen, wie sich die Temperatur ändert. Genauer gesagt, zeigt ein positives $w$‍ an, dass er $w$‍ Kilogramm Holz mehr verwendet und ein negatives $w$‍, dass er $w$‍ Kilogramm weniger Holz verbrennt. Der Graph von $y=T(w)$‍ steht unten, wobei $T(w)$‍ die Änderung der Temperatur in Pranavs Haus zeigt.

Der Graph der Funktion $T$‍ ist symmetrisch in Bezug auf den Ursprung.

Also ist die Funktion $T$‍ eine ungerade Funktion. Algebraisch bedeutet dies, dass $T(-w)=-T(w)$‍ für alle $w$‍.

Um die Symmetrie in dieser Situation zu interpretieren, wollen wir die mathematische Aussage “für alle $w$‍ Werte, $T(-w)=-T(w)$‍” in Bezug auf den Kontext interpretieren.

Lass uns über die Bedeutung davon für einen bestimmten Wert von $w$‍ nachdenken. Dann können wir zurückgehen und generalisieren.

Um dabei zu helfen, erinnern wir uns, dass eine positive Eingabe eine Addition von Holz zeigt und eine negative Eingabe eine Reduktion von Holz zeigt, und dass die Funktion eine Temperaturänderung ausgibt.

Also sehen wir: $T(-1)=-T(1)$‍ bedeutet, dass die $\text{Temperaturänderung}$‍ aus der Verbrennung von $1\text{ Kilogramm weniger Holz}$‍ entgegengesetzt zu der Verbrennung von $1\text{ Kilogramm mehr Holz}$‍ ist.

Wir sind jetzt bereit die Symmetrie-Aussage für ein allgemeines $w$‍ zu verallgemeinern und zu interpretieren.

Anders ausgedrückt: Das Erhöhen und Verringern der Menge Holz um einen gewissen Betrag haben den genau entgegengesetzten Effekt auf die Temperatur des Hauses.

Allgemein ist es hilfreich, das Folgende zu tun, um die Bedeutung der Symmetrie eines Funktionsgraphen besser verstehen zu können:

Schritt $1$‍: Entscheide, ob die Funktion gerade oder ungerade ist und bestimme, was dies algebraisch bedeutet.

Schritt $2$‍: Versuche zu verstehen, was jede Variable in dem Kontext darstellt.

Schritt $3$‍: Mache eine Aussage, die die Bedeutung der Variablen und die Ausgabewerte für entgegengesetzte Eingabewarte vergleicht.

Trudy lernt eine neue Art von Fahrzeug zu fahren. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs wird die Position eines Drehknopfes bestimmt. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs, $V(x)$‍, in Meilen pro Stunde, ist eine Funktion der Position des Drehknopfes, $x$‍. Beachte, dass $x>0$‍ bedeutet dass der Knopf um $x$‍ Einheiten im Uhrzeigersinn gedreht wurde und $x<0$‍ bedeutet, dass der Knopf um $x$‍ Einheiten gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde.

Unten siehst du das Diagramm von $y=V(x)$‍.