Maximumpunkte von quadratischen Funktionen vergleichen

"Welches Quadrat besitzt den niedrigsten Maximalwert?" Finden wir also für jeden dieser den Maximalwert heraus -- alle unterschiedlich definiert -- Finden wir also für jeden dieser den Maximalwert heraus -- alle unterschiedlich definiert -- und schauen uns an, welcher davon der niedrigste ist. Beginnen wir mit dem einfachsten, h(x). Beginnen wir mit dem einfachsten, h(x). WIr können ihn grafisch betrachten und sagen, was der Höhepunkt ist. WIr können ihn grafisch betrachten und sagen, was der Höhepunkt ist. Es sieht so aus, als wäre er genau hier, bei x = 4. Es sieht so aus, als wäre er genau hier, bei x = 4. Wenn x = 1, ist y oder h(x) = -1. Also liegt das Maximum von h(x) offensichtlich bei -1. Nun, was ist das Maximum von g(x)? Hier haben wir einige Punkte gegeben. Auch hier können wir es einfach per Augenmaß erkennen und sagen, welcher Maximalwert gegeben ist. 5 ist der größte Wert. Es passiert, wenn x = 0 ist. g(0) = 5. Der Maximalwert hier ist also 5. Nun f(x). Dieser wird nur durch eine Gleichung definiert. Das erfordert also ein wenig mehr Arbeit, um herauszufinden, was der Maximalwert ist. Das erfordert also ein wenig mehr Arbeit, um herauszufinden, was der Maximalwert ist. Der einfachste Weg, dies zu tun, ist die quadratische Vervollständigung. Der einfachste Weg, dies zu tun, ist die quadratische Vervollständigung. Gesagt, getan. Wir haben f(x) = -x² + 6x - 1. Wir haben f(x) = -x² + 6x - 1. Das Minus hier stört mich immer, also klammere ich es aus. Das Minus hier stört mich immer, also klammere ich es aus. Das ist dasselbe wie -(x² - 6x + 1). Das ist dasselbe wie -(x² - 6x + 1). Die +1 schreibe ich weiter hier hin, da ich ja quadratisch vervollständigen möchte. Die +1 schreibe ich weiter hier hin, da ich ja quadratisch vervollständigen möchte. Zur Wiederholung der quadratischen Vervollständigung möchten wir im Wesentlichen dieselbe Zahl addieren und subtrahieren, sodass dieser Teil des Ausdrucks ein perfektes Quadrat wird. dieselbe Zahl addieren und subtrahieren, sodass dieser Teil des Ausdrucks ein perfektes Quadrat wird. Um herauszufinden, welche Zahl wir addieren bzw. subtrahieren, betrachten wir den Koeffizienten des x-Terms. Das ist eine -6. Wir halbieren, erhalten -3. Wir halbieren, erhalten -3. Wir quadrieren sie. (-3)² ist 9. Nun addieren wir einfach die 9. Das würde den eigentlich Wert dieses Ausdrucks verändern. Wir müssen 9 addieren und 9 subtrahieren. Nun fragt ihr euch sicherlich, warum wir den gleichen Wert zuerst addieren und dann wieder subtrahieren. Das würde ja den Wert dieses Ausdrucks nicht verändern. Das würde ja den Wert dieses Ausdrucks nicht verändern. Es geht dabei lediglich darum, diesen ersten Teil des Ausdrucks zu einem perfekten Quadrat zu machen. Es geht dabei lediglich darum, diesen ersten Teil des Ausdrucks zu einem perfekten Quadrat zu machen. Es geht dabei lediglich darum, diesen ersten Teil des Ausdrucks zu einem perfekten Quadrat zu machen. x² - 6x + 9 ist (x - 3)²-. Also schreiben wir um: (x - 3)² - 9 + 1 bzw. (x - 3)² - 8 Also schreiben wir um: (x - 3)² - 9 + 1 bzw. (x - 3)² - 8 Also schreiben wir um: (x - 3)² - 9 + 1 bzw. (x - 3)² - 8 Hierfür besser eine andere Farbe... Hierfür besser eine andere Farbe... Dieser Teil hier ist also -8. Und wir haben vorne noch das Minuszeichen stehen. So können wir wie folgt umschreiben, wenn wir das Minuszeichen ausmultiplizieren: -(x - 3)² + 8 Was ist hier nun der Maximalwert? Um den Maximalwert zu erkennen, müssen wir diese -(x - 3)² interpretieren. Um den Maximalwert zu erkennen, müssen wir diese -(x - 3)² interpretieren. Nun, (x - 3)² -- bevor wir uns über dieses Minus hier Gedanken machen -- das hier wird immer positiv sein. Nun, (x - 3)² -- bevor wir uns über dieses Minus hier Gedanken machen -- das hier wird immer positiv sein. Bzw. nicht-negativ. Aber dann, wenn es negativ wird, bleibt es stets nicht-positiv. Aber dann, wenn es negativ wird, bleibt es stets nicht-positiv. Denkt darüber nach. Wenn x = 3 ist, ist das hier gleich 0. Man nimmt davon das negative, es wird zu 0. x ist irgendwas anderes, etwas anderes als 3, dieser Teil der Gleichung ist positiv. x ist irgendwas anderes, etwas anderes als 3, dieser Teil der Gleichung ist positiv. x ist irgendwas anderes, etwas anderes als 3, dieser Teil der Gleichung ist positiv. Dann aber dieses Minus hier. Man subtrahiert also diesen positiven Wet von 8. Das hier hat also einen Maximalwert, wenn dieser Term hier gleich 0 ist. Das hier hat also einen Maximalwert, wenn dieser Term hier gleich 0 ist. Das einzige, was dieser Teil der Gleichung machen kann, ist, etwas von 8 abzuziehen. Das einzige, was dieser Teil der Gleichung machen kann, ist, etwas von 8 abzuziehen. Für einen Maximalwert muss dies gleich 0 sein. Für einen Maximalwert muss dies gleich 0 sein. Das wird gleich 0, wenn x gleich 3 ist. Für x = 3 ist das hier 0. Und unsere Funktion erreicht den Maximalwert von 8. Das hat also einen Maximalwert von 8. Das hat also einen Maximalwert von 8. Welcher dieser besitzt nun den niedrigsten Maximalwert? h(x) !