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Video-Transkript

Du weißt vielleicht schon, dass jede lineare Gleichung als y = mx + b geschrieben werden kann. Dabei ist m die Steigung der Geraden. Die gleiche Steigung, die wir bereits in den letzten Videos behandelt haben. Die gleiche Steigung, die wir bereits in den letzten Videos behandelt haben. Es ist Höhenunterschied über einem Abschnitt der Gerade. Oder der Anstieg der Gerade. Und b ist der y-Achsenabschnitt. Es ist ziemlich einfach zu prüfen, dass b der y-Achsenabschnitt ist. Du brauchst nur x = 0 zu setzen. Wenn du x=0 setzt bedeutet das, dass wir zu dem Schnittpunkt mit der y-Achse gehen. Wenn x=0 ist, wird diese Gleichung zu y gleich m mal 0 plus b. [ y = m•0 + b ] m mal 0 wird zu 0. Es ist egal was m ist. Es ist damit y gleich b. Also liegt der Punkt (0 | b) auf dieser Geraden. Die Gerade schneidet die y-Achse in dem Punkt, an dem y gleich b ist. Wir werden das mit Beispielwerten in den nächsten Videos sehen. Nur um zu prüfen, dass m wirklich die Steigung ist, wollen wir ein paar Zahlen ausprobieren. Wir wissen, dass der Punkt (0 | b) auf der Gerade liegt. Was passiert, wenn x gleich 1 ist? Du erhältst y = m • 1 + b. Oder gleich y = m + b. Wir wissen nun, dass der Punkt (1 | m+b) auch auf der Geraden liegt. Richtig - das ist der y-Wert. Was ist die Steigung zwischen den beiden Punkten? Nehmen wir den zweiten als Endpunkt. Dann hast du als y-Wert: m+b, die Änderung der y-Werte ist m+b–b wenn sich x um 1 ändert, die Änderung von x ist also 1–0 = 1. Dies ist die Änderung bei y durch die Änderung bei x. Wir benutzen zwei Punkte. Das ist unser Endpunkt. Das ist unser Startpunkt. Wenn du das vereinfachst, ist b – b = 0 und 1 – 0 = 1. Du erhältst also m durch 1 - also m. Hoffentlich bist du zufrieden und hoffentlich habe ich dich nicht mit all den Variablen hier verwirrt. dich nicht mit all den Variablen hier verwirrt. Aber das ist eindeutig die Steigung und das ist eindeutig der y-Achsenabschnitt. Was wir nun damit in dieser Übung machen wollen, ist diese Graphen anschauen und von den gezeichneten Graphen die Gleichung ermitteln. Wir schauen uns diese an, ermitteln die Steigungen, ermitteln die y-Achsenabschnitte und kennen dann die Gleichung. Machen wir das mal mit Geraden A. Was ist die Steigung von A? Beginnen wir bei einem beliebigen Punkt. Beginnen wir hier. Wir wollen ganze Zahlen nehmen. Wenn wir nun eins, zwei, drei nach rechts gehen, Wenn also Delta x gleich 3 ist, nochmal - eins, zwei, drei Unser Delta y - und mache das nur, um eine ganze Zahl hier zu treffen - unser Delta y ist - wir gehen um 2 nach unten - ist also gleich -2. So heißt das für A, die Änderung von y bei der Änderung von x wenn x sich um +3 ändert, ist die Änderung von y gleich -2 Unsere Steigung m ist daher -2/3. Wenn wir 3 nach rechts gehen, gehen wir 2 nach unten. Oder wenn wir um 1 nach rechts gehen, gehen wir um 2/3 nach unten. Das kannst du hier nicht genau erkennen, aber es ist einzusehen wenn du 3 nach rechts gehst. Das ist also unsere Steigung m. Wir haben eigentlich die Hälfte der Aufgabe erledigt. Nun müssen wir den y-Achsenabschnitt bestimmen. Das hier ist unser m. Was ist unser b? Unser y-Achsenabschnitt. Wo schneidet die Gerade die y-Achse? Wir haben bereits gesagt, die Steigung ist -2/3. Das ist der Punkt, für den y gleich 2 ist. Wenn wir 1 nach rechts gehen, gehen wir um 2/3 nach unten. Das muss dann der y-Wert 1 und 1/3 sein. Oder um es anders zu sagen, ist es 4/3. Das ist der Punkt, wo y gleich 4/3 ist. Genau hier. Etwas mehr als 1. Genau 1 und 1/3. Wir könnten daher sagen, b ist gleich 4/3. Wir wissen jetzt, dass die Gleichung lautet: y gleich -2/3 mal x plus b, also plus 4/3 [ y = –2/3 x + 4/3 ] Das ist Gleichung A. Nehmen wir uns Gleichung B vor. Hoffentlich müssen wir hier nicht mit so vielen Brüchen arbeiten. Gleichung B. Zuerst bestimmen wir die Steigung. Wir beginnen bei einem sinnvollen Punkt. Wir könnten bei diesem Punkt beginnen. Lass mich das hier das hier tun. Gleichung B Gleichung B Wenn unser Delta x gleich - lass mich das so schreiben - Delta x könnte gleich 1 sein. Wenn wir 1 nach rechts gehen, was passiert mit unserem Delta y? Wir gehen um 3 nach oben. Delta x. Delta y. Unsere Änderung von y ist 3. Also ist Delta y durch Delta x, wenn wir nach rechts gehen, ist unsere Änderung von x gleich 1. Unsere Änderung von y ist +3. Dann ist unsere Steigung ist gleich 3. Was ist unser y-Achsenabschnitt? Wenn x gleich 0 ist, dann ist y gleich 1. Daher ist b gleich 1. Das war nun viel leichter. Hier ist die Gleichung y = 3x + 1. Nun nehmen wir uns diese letzte Gerade hier vor. Gerade C. Wir bestimmen als erstes den y-Achsenabschnitt. Du siehst sofort den y-Achsenabschnitt - wenn x = 0 ist, dann ist y = –2 Daher ist b = -2 Und dann, was ist die Steigung? m ist gleich der Änderung von y geteilt durch die Änderung von x. Wir beginnen beim y-Achsenabschnitt. Wenn wir hier um 1 nach rechts gehen, eins zwei, drei, vier. Dann ist unsere Änderung von x gleich 4. Wie groß ist unsere Änderung von y? Unsere Änderung von y ist +2. Daher ist die Änderung von y gleich 2, wenn die Änderung von x gleich 4 ist. Die Steigung ist also gleich 1/2 (zwei Viertel). Die Gleichung beginnt y = 1/2 x ... (wegen unserer Steigung) und minus 2 [ y = 1/2 x –2] Und wir sind fertig. Nun wollen wir den umgekehrten Weg gehen. Wir schauen uns ein paar Gleichungen an, für die wir wissen dass das die Steigung und das der y-Achsenabschnitt ist. Das ist m - das ist b - und wir zeichnen sie. Nehmen wir uns die erste Gerade vor. Ich habe schon begonnen es in orange zu umkreisen. Der y-Achsenabschnitt ist 5. Wenn x = 0 ist, dann ist y = 5. Du kannst das an der Gleichung prüfen. Also wenn x = 0, dann ist y gleich eins, zwei, drei vier, fünf. Das ist der y-Achsenabschnitt und die Steigung ist 2. Das bedeutet, wenn ich +1 in x-Richtung gehe, muss ich 2 in y-Richtung nach oben gehen. Das bedeutet, wenn ich +1 in x-Richtung gehe, muss ich 2 in y-Richtung nach oben gehen. Wenn ich 1 nach rechts gehe, gehe ich 2 aufwärts. Wenn ich 1 nach rechts gehe, gehe ich 2 aufwärts. Nochmal. Wenn ich 1 nach rechts gehe, gehe ich 2 aufwärts. Wenn ich 1 nach rechts gehe, gehe ich 2 aufwärts. Wenn ich 1 nach links in x-Richtung gehe, gehe ich 2 in y-Richtung nach unten. Wenn ich 1 nach links in x-Richtung gehe, gehe ich 2 in y-Richtung nach unten. Nochmal. Wenn ich 1 nach links in x-Richtung gehe, gehe ich 2 in y-Richtung nach unten. Wenn ich 1 nach links in x-Richtung gehe, gehe ich 2 in y-Richtung nach unten. Ich mache so weiter. Diese Gerade sieht daher so aus. Ich kann Geraden nicht so ordentlich zeichnen, aber dieses ist scheint mein bester Versuch zu sein. Sie sieht ungefähr so aus. Ich mache immer so weiter. Das ist also unsere erste Gerade. Ich kann so weiter nach unten gehen. Nun zur zweiten Geraden. y gleich -0,2 x plus 7 Ich will das so schreiben: y = -0,2 x + 7. Es ist immer einfacher, dabei in gemeinen Brüchen zu denken. 0,2 ist das Gleiche wie 1/5. Wir könnten das so schreiben: y = -1/5 x + 7. Wir wissen, dass der y-Achsenabschnitt 7 ist. Also eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, ... Das ist unser y-Achsenabschnitt, wenn x = 0 ist. Und dies sagt uns, dass immer, wenn wir 5 nach rechts gehen, wir auch um 1 nach unten gehen. Wir können dies als -1/5 sehen. Das Delta y durch Delta x ist gleich -1/5. Für jeweils 5, die wir nach rechts gehen, gehen wir um 1 nach unten. Für jeweils 5. Eins, zwei, drei, vier, fünf Wir gehen um 5 nach rechts. Das bedeutet, wir müssen um 1 nach unten gehen. Wir gehen 5 nach rechts. Eins, zwei, drei, vier, fünf. Wir müssen um 1 nach unten gehen. Wenn du rückwärts gehst, wenn du also stattdessen 5 nach links gehst, wenn du das als 1 durch -5 siehst. Das sind offensichtlich äquivalente Zahlen. Wenn du 5 nach links gehst - das ist -5 Eins, zwei, drei, vier, fünf. Dann gehst du 1 nach oben. Wenn du 5 nach links gehst - eins, zwei, drei, vier fünf, gehst du 1 nach oben. Die Gerade sieht also so aus. Ich muss nur die Punkte verbinden. Ich denke, du hast das Prinzip verstanden. Ich muss nur diese Punkte verbinden. Ich hätte es etwas gerader zeichnen können. Nun nehmen wir uns diese vor: y = –x. y = –x Wo ist der b-Term? Ich sehe keinen b-Term. Du erinnerst dich, wir sagten, y = mx + b. Wo ist das b? Nun, das b ist hier Null. Du könstest das sehen als + 0. Hier ist b = 0 Wenn x gleich 0 ist, dann ist y = 0. Das ist unser y-Achsenabschnitt, gerade hier beim Ursprung. Und dann die Steigung - du siehst wiederum ein Minuszeichen. Du könntest das sehen als y = -1x + 0. Die Steigung ist daher y = -1. Wenn du um 1 nach rechts gehst, wenn also die Änderung von x gleich +1 ist, dann ist die Änderung von y gleich y = -1. Wenn du bei x um 1 nach rechts gehst, gehst du bei y um 1 nach unten. Oder wenn du um 1 nach links gehst, dann gehst du um 1 nach oben. x und y haben gegensätzliche Vorzeichen. Sie gehen in gegensätzliche Richtungen. Daher sieht die Gerade so aus. Du kannst dir ungefähr vorstellen, dass sie den zweiten und vierten Quadraten teilt. Du kannst dir ungefähr vorstellen, dass sie den zweiten und vierten Quadraten teilt. Nun, nehmen wir uns noch eine vor. Nehmen wir diese letzte hier. y = 3,75 Nun sagst du, hoppla, wir suchen doch y = mx + b. Wo ist der x-Term? Er ist einfach weg. Nun, der Fakt hier ist, dies könnte geschrieben werden als y = 0x + 3,75 Nun das macht Sinn. Die Steigung ist 0. Egal, wie wir x verändern, y ändert sich nicht. Delta y durch x ist gleich 0. Es ist egal, wie du dein x veränderst. Unser y-Achsenabschnitt ist 3,75. Also 1, 2, 3,75 ist ungefähr hier. Du willst nahe herankommen an 3 und 3/4. Du willst nahe herankommen an 3 und 3/4. Wenn ich x ändere, ändert sich y nicht. y ist immer 3,75. Es ist einfach eine horizontale Gerade bei y = 3,75 Es ist einfach eine horizontale Gerade bei y = 3,75. Wie auch immer - hoffentlich war dies für dich hilfreich. Wie auch immer - hoffentlich war dies für dich hilfreich.