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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 5

Lektion 7: Geradengleichungen in der Hauptform schreiben
Mathematik
Algebra 1
Lineare Gleichungen & Graphen
Geradengleichungen in der Hauptform schreiben
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Geradengleichungen in der Hauptform schreiben

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Lerne wie man die Achsenabschnitts-Gleichung der Steigung anhand einer Linie zwischen zwei Punkten auf der Linie ermittelt.
Wenn du das bis jetzt noch nicht gelesen hast, wirst du vielleicht beginnen wollen mit unserer Einführung in die Normalform.

Gleichungen anhand eines y-Achsenabschnitts und eines weiteren Punktes schreiben

Ein Koordinatensystem im ersten Quadranten. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Eins skaliert. Eine Gerade geht durch die Punkte Null, Drei und Zwei, Sieben, die eingezeichnet und beschriftet sind.
Wir wollen eine Gleichung der Gerade in der Normalform schreiben, die durch die Punkte left parenthesis, 0, vertical bar, 3, right parenthesis und left parenthesis, 2, vertical bar, 7, right parenthesis geht.
Erinnere dich, dass bei der allgemeinen Normalform y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f die Steigung durch start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 und der y-Achsenabschnitt durch start color #0d923f, b, end color #0d923f gegeben ist.

Bestimmen von start color #0d923f, b, end color #0d923f

Der y-Achsenabschnitt der Gerade ist left parenthesis, 0, vertical bar, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, right parenthesis, daher wissen wir, dass start color #0d923f, b, end color #0d923f, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f.

Bestimmen von start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

Erinnere dich daran, dass die Steigung einer Geraden die Beziehung der Veränderung y im Bezug auf die Veränderung von x zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Gerade ist:
start text, S, t, e, i, g, u, n, g, end text, equals, start fraction, start text, A, with, \", on top, n, d, e, r, u, n, g, space, b, e, i, space, end text, y, divided by, start text, A, with, \", on top, n, d, e, r, u, n, g, space, b, e, i, space, end text, x, end fraction
Daher ist dies die Steigung zwischen den Punkten left parenthesis, 0, vertical bar, 3, right parenthesis und (2|7):
m=A¨nderung bei yA¨nderung bei x=7−32−0=42=2\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{\text{Änderung bei }y}{\text{Änderung bei }x} \\\\ &=\dfrac{7-3}{2-0} \\\\ &=\dfrac{4}{2} \\\\ &=\maroonC{2}\end{aligned}
Daher ist die Gleichung der Geraden: y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 3, end color #0d923f.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1
Ein Koordinatensystem im ersten Quadranten. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Eins skaliert. Eine Gerade geht durch die Punkte Null, Fünf und Vier, Neun, die eingezeichnet und beschriftet sind.
Schreibe die Gleichung der Geraden.

Aufgabe 2
Ein Koordinatensystem im ersten Quadranten. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Eins skaliert. Eine Gerade geht durch die Punkte Null, Acht und Drei, Zwei, die eingezeichnet und beschriftet sind.
Schreibe die Gleichung der Geraden.

Gleichungen anhand zweier beliebiger Punkte schreiben

Ein Koordinatensystem im ersten Quadranten. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Eins skaliert. Eine Gerade geht durch die Punkte Zwei, Fünf und Vier, Neun, die eingezeichnet und beschriftet sind.
Wir schreiben die Gleichung der Geraden so, dass sie durch left parenthesis, 2, vertical bar, 5, right parenthesis und (4|9) bei der Normalform verläuft.
Beachte, dass wir nicht den y-Achsenabschnitt der Gerade gegeben haben. Dieses macht die Sache etwas schwieriger, aber wir fürchten uns nicht vor einer Herausforderung!

Bestimmen von start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

m=A¨nderung bei yA¨nderung bei x=9−54−2=42=2\begin{aligned} \maroonC{m}&=\dfrac{\text{Änderung bei }y}{\text{Änderung bei }x} \\\\ &=\dfrac{9-5}{4-2} \\\\ &=\dfrac{4}{2} \\\\ &=\maroonC{2} \end{aligned}

Bestimmen von start color #0d923f, b, end color #0d923f

Wir wissen, dass die Gerade die Form y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f hat, aber wir müssen noch start color #0d923f, b, end color #0d923f herausfinden. Um das zu tun, setzen wir den Punkt left parenthesis, 2, vertical bar, 5, right parenthesis in die Gleichung ein.
Weil jeder Punkt auf der Gerade diese Geradengleichung erfüllen muss, erhalten wir eine Gleichung, die wir lösen können, um start color #0d923f, b, end color #0d923f zu ermitteln.
y=2⋅x+b5=2⋅2+bx=2 und y=55=4+b1=b\begin{aligned}y&=\maroonC{2}\cdot x+\greenE{b}\\\\ 5&=\maroonC{2}\cdot 2+\greenE{b}&\gray{x=2\text{ und }y=5}\\\\ 5&=4+\greenE{b}\\\\ \greenE{1}&=\greenE{b} \end{aligned}
Daher ist die Gleichung der Geraden: y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 3
Ein Koordinatensystem im ersten Quadranten. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Eins skaliert. Eine Gerade geht durch die Punkte Eins, Vier und Drei, Zehn, die eingezeichnet und beschriftet sind.
Schreibe die Gleichung der Geraden.

Aufgabe 4
Ein Koordinatensystem im ersten Quadranten. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Eins skaliert. Eine Gerade geht durch die Punkte Zwei, Neun und Vier, Eins, die eingezeichnet und beschriftet sind.
Schreibe die Gleichung der Geraden.

Challengeaufgabe
Die Gerade geht durch die Punkte left parenthesis, 5, vertical bar, 35, right parenthesis und left parenthesis, 9, vertical bar, 55, right parenthesis.
Schreibe die Gleichung der Geraden.

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