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Einführung in die Normalform von linearen Gleichungen

Video-Transkript

Wir haben uns schon ein paar Möglichkeiten angesehen, wie Geradengleichungen geschrieben werden können. Eine Möglichkeit ist die Achsenabschnittsform, welche die Form y = mx + b hätte, wobei m und b Konstanten sind. m ist der Faktor in diesem mx-Term hier, und m steht für die Steigung. Aus b kann man den y-Achsenabschnitt errechnen. Aus b kann man den y-Achsenabschnitt errechnen. Aus b kann man den y-Achsenabschnitt errechnen. Aus b kann man den y-Achsenabschnitt errechnen. Der Graph, der für die xy-Paare steht, der diese Gleichung erfüllt, würde die y-Achse am Punkt (x = 0, y = b) schneiden. Seine Steigung wäre m. Wir haben das bereits mehrere Male gesehen. Wir haben auch gesehen, dass man die Gleichung auch in Punktsteigungsform darstellen kann. Lasst mich das deutlich machen. Das hier ist die Achsenabschnittsform. Achsenabschnittsform. Das sind nur verschiedene Arten, um dieselben Gleichungen zu schreiben. Man kann algebraisch von einer zur anderen umstellen. Eine andere Möglichkeit ist die Punktsteigungsform. Punktsteigungsform. Zur Punktsteigungsform: Wenn du weißt, dass es eine Gleichung gibt, bei der die Gerade, die die Lösungen dieser Gleichungen darstellt, die Steigung m besitzt. Steigung ist gleich m. Und wenn du weißt, dass x gleich a ist und y gleich b, diese Gleichung erfüllen, dann kann man die Gleichung in der Punktsteigungsform so ausdrücken: (y - b) = m (x - a). (y - b) = m (x - a). Das ist die Punktsteigungsform, darüber machen wir Videos. In diesem Video möchte ich aber noch eine andere Form behandeln. In diesem Video möchte ich aber noch eine andere Form behandeln. Diese Form kennt ihr vielleicht schon, und das ist die Standardform. Standardform. Standardform. Und sie hat die Form: Ax + By = C, wobei A, B und C ganze Zahlen sind. In diesem Video möchte ich, wie schon in den anderen Videos zur Punktsteigungsform und Achsenabschnittsform, ein Verständnis dafür erreichen, in welchen Fällen eine Standardform gut und sinnvoll ist und wann nicht. in welchen Fällen eine Standardform gut und sinnvoll ist und wann nicht. Machen wir ein konkretes Beispiel. Wir haben eine lineare Gleichung in Standardform Wir haben eine lineare Gleichung in Standardform 9x + 16y = 72. 9x + 16y = 72. Wir wollen diese graphisch darstellen. Die Standardform eignet sich sehr gut, nicht nur um den y-Schnittpunkt herauszufinden, -- den y-Schnittpunkt kannst du sehr gut herausbekommen, wenn du die Achsenabschnittsform benutzt. Aber wir können den y-Schnittpunkt auch gut aus der Standardform ermitteln und auch den x-Schnittpunkt. Der x-Schnittpunkt lässt sich nicht so einfach aus diesen anderen Formen hier ermitteln. Wie machen wir das also? Nun, um die x- und y-Schnittpunkte zu ermitteln, erstellen wir hier eine kleine Tabelle, x und y. Der x-Schnittpunkt ist an der Stelle, an der y gleich 0 ist. Und der y-Schnittpunkt ist da, wo x gleich 0 ist. Wenn y also 0 ist, was ist x? Wenn y gleich 0 ist, 16 mal 0 ergibt 0, verschwindet dieser Term und es bleibt übrig: 9x = 72. Wenn 9 mal x = 72 ist, dann ist 72 geteilt durch 9 gleich 8. Also wäre x gleich 8. Das herauszufinden war also einfach. Dieser Term verschwindet und man sagt, 9 mal x ist 72, x ist 8. Wenn y gleich 0 ist, ist x gleich 8. Der Punkt, schauen wir es uns an, y ist 0, x ist 1...2...3... 4...5...6...7...8. Das ist dieser Punkt, dieser hier. Dieser Punkt hier ist der x-Schnittpunkt. Wenn wir über x-Schnittpunkte reden, beziehen wir uns auf den Punkt, in dem die Linie die x-Achse tatsächlich schneidet. Was ist nun mit dem y-Schnittpunkt? Nun, wir haben gesagt, x = 0, dann verschwindet das hier. Und übrig bleibt: 16y = 72. Das können wir dann auflösen. Das können wir dann auflösen. Wir könnten sagen, ok, 16y = 72. Und dann beide Seiten geteilt durch 16. Wir erhalten: y = 72/16. Was ergibt das? Das ist gleich, mal sehen, beide sind teilbar durch 8, also ist das 9/2. Man könnte auch 4,5 sagen. Wenn x also 0 ist, ist y gleich 4,5. Also können wir auch diesen Punkt einzeichnen. x ist 0, y ist 1...2...3... 4,5. Diese beiden Punkte reichen bereits aus, um eine Gerade zu zeichnen. Lasst uns das machen. Also, ah, ich wollte eine gerade Linie zeichnen. Die Gerade sieht ungefähr so aus. Da haben wir es. Ich habe die Gerade gezeichnet, die Ich habe die Gerade gezeichnet, die alle xy-Paare darstellt, die die Gleichung erfüllen. 9x + 16y = 72. Ich erwähnte, dass sich die Standardform oft gut eignet, und das Gute an der Standardform ist, und was sie in gewisser Weise einzigartig gegenüber anderen betrachteten Formen macht, ist, dass man den x-Schnittpunkt einfach ermitteln kann. Es war sehr einfach, den x-Schnittpunkt mit der Standardform herauszufinden. Es war auch nicht schwer, den y-Schnittpunkt herauszufinden. Wenn wir die Achsenabschnittsform anschauen, fällt einem der y-Schnitpunkt direkt ins Auge. Bei der Punktsteigungsform fallen weder der y- noch der x-Schnittpunkt sofort auf. Der Vorteil bei der Achsenabschnitts- und Punktsteigungsform liegt darin, dass es sehr einfach ist, die Steigung zu ermitteln, während man bei der Standardform ein wenig rechnen muss. Man kann diese 2 Punkte nehmen, man könnte auch die x- und y- Schnittpunkte als 2 Punkte nehmen und damit die Steigung ermitteln. Man könnte also direkt sagen: "Wenn ich von diesem zu jenem Punkt gehe, wäre die x-Änderung von 8 zu 0 also -8. Und von 0 zu 4,5 zu gehen." Das Delta hier ist unnötig. Wenn man also von 0 zu 8 geht, ist die x-Veränderung gleich -8. Und von 0 zu 4,5 beträgt die y-Veränderung 4,5. Die Steigung wäre dann also, sobald man fertig ist: Die Steigung wäre dann also, sobald man fertig ist: y-Veränderung, 4,5 geteilt durch x-Veränderung, also -8. durch x-Veränderung, also -8. Ich möchte hier keine Dezimalzahl haben, also multiplizieren wir Zähler und Nenner mit 2 dann erhältst du die Steigung 9/16. Wir mussten hier also ein wenig rechnen. Wir nehmen entweder diese beiden Punkte, die Lösung wird nicht sofort ersichtlich, auch wenn man sieht, auf was es am Ende hinausläuft. Man überlegt: Negativ oder positiv? Man muss es ein ein wenig umformen. Oder, wenn ich die Steigung ermitteln will, forme ich es einfach in eine der anderen Formen um. forme ich es einfach in eine der anderen Formen um. Vorzugsweise in die Achsenabschnittsform. Die Standardform selbst jedoch, eignet sich sehr gut um die x- und y-Schnittpunkte herauszufinden. Und es ist nicht schwer sie in die Achsenabschnittsform zu konvertieren. Und es ist nicht schwer sie in die Achsenabschnittsform zu konvertieren. Lass uns das machen. Lass uns das machen. Wir starten mit 9x, das machen wir in gelb. Wir starten mit 9x + 16y = 72. Wir starten mit 9x + 16y = 72. Wir wollen das in Achsenabschnittsform schreiben. Wir ziehen 9x von beiden Seiten ab und erhalten: 16y = -9x +72. Dann teilen wir beide Seiten durch 16. Dann teilen wir beide Seiten durch 16. Dann teilen wir beide Seiten durch 16. Und es bleibt übrig: y = -9/16x, das ist die Steigung, das sieht man hier, + 72/16, wir wissen schon, dass dies 9/2 oder 4,5 ist. Ich schreibe 4,5. Diese Form hier ist viel besser, um die Steigung zu ermitteln und den y-Schnittpunkt kannst du auch sofort erkennen. Der x-Schnittpunkt ist jedoch weniger offensichtlilch.