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Beispielaufgabe: Steigung mit Hilfe eines Graphs bestimmen

Video-Transkript

Finde die Steigung der Geraden. Nur kurz zur Wiederholung: Die Steigung sagt uns welche Neigung eine Gerade hat. Die Steigung ist gleich der Änderung von y geteilt durch die Änderung von x. geteilt durch die Änderung von x. Bei einer Geraden ist die Steigung immer konstant. Vielleicht hast auch das schon mal gesehen: Das Dreieck, das ist der (große) griechische Buchstabe Delta. Delta bedeutet hier Änderung, Änderung von y geteilt durch x. Das ist einfach ein cooler Weg um Änderungen von y geteilt durch x auszudrücken. Nun, wie ändert sich y, wenn sich x ändert? Wir suchen uns einen guten Punkt aus, von dem wir starten können. Wir fangen hier an-- Ich mache das in einer anderen Farbe-- An diesem Punkt hier. Und wir suchen uns noch einen zweiten Punkt aus, den wir gut ablesen können. Diesen Punkt hier. Wir könnten jeden beliebigen Punkt auf der Geraden auswählen. Ich wähle einfach zwei schöne, ganze Zahlen aus, die ich gut ablesen kann. Gut, wie ändern sich y und x? Betrachten wir die Änderung von x. Wenn wir uns von hier, nach hier bewegen: Wie ändert sich x? Wie ändert sich x? Nun, ich kann das einfach abzählen. Ich bin 1, 2, 3 Schritte gegangen. x hat sich um 3 geändert. Du kannst das auch an den x-Werten sehen. Wenn ich von minus 3 bis 0 gehe, dann sind das 3 Schritte. Die Änderung von x ist 3. Ich schreibe das auf: Die Änderung von x, Delta x, ist gleich 3. Und wie verändert sich y? Bei y gehe ich von minus 3 bis minus 1, also zwei Schritte. Die Änderung von y ist damit gleich 2. Ich schreibe das auf. Änderung von y ist gleich 2. Was ist die Änderung von y, bezogen auf die Änderung von x? Nun, x ist 3 und y ist 2. Das ist meine Steigung. Jetzt will ich dir noch zeigen, dass ich jeden beliebigen Punkt auf der Geraden hätte nehmen können. Lass uns sagen-- ich hätte nicht diese ausgewählt, sondern zwei andere Punkte. ich hätte nicht diese ausgewählt, sondern zwei andere Punkte. Ich möchte dir zeigen, dass du immer das gleiche Ergebnis erhältst. Nehmen wir diesen hier als meinen Startpunkt und ich gehe hier rüber. Nun, wie verändert sich y? Um wie viele Einheiten gehe ich runter? 1, 2, 3, 4 Schritte, damit ändert sich y hier um minus 4. Von 1 bis minus 3 ist eine Änderung um minus 4. Das ist meine Änderung in der y-Richtung. Die Änderung von y ist gleich minus 4. Und x? Ich bewege mich von diesem Punkt, von diesem x-Wert hierher-- ich mache das in einer anderen Farbe-- hierhin zurück. Ich bewege mich nach links, somit habe ich eine negative Änderung von x, ich habe mich 1,2,3,4,5,6, Schritte zurückbewegt. Damit ist die Änderung von x gleich minus 6. Damit ist die Änderung von x gleich minus 6. Ich habe bei 3 angefangen, und bin den ganzen Weg bis x gleich minus 3 gegangen. Das ist eine Änderung um minus 6. Ich bin um 6 nach links gegangen, das ist eine Änderung um minus 6. Wie ändert sich also y in Bezug auf x? Die Änderung von y geteilt duch die Änderung von x ist gleich minus 4 geteilt durch minus 6. Das Minus kürzt sich weg, und was ist 4 geteilt duch 6? Nun, das ist einfach 2 geteilt durch 3. Damit ist das der gleiche Wert. Wenn das mein Anfangspunkt ist, gehe ich um 4 runter, dann gehe ich 6 zurück. Minus 4 geteilt durch minus 6. Wenn ich das als meinen Anfangspunkt nehme, könnte ich sagen, ich gehe 4 nach oben, dann ändert sich y um 4, und x würde sich um 6 ändern. Egal wie, die Änderung von y geteilt duch die Änderung von x das wären 4 geteilt durch 6, also 2/3. Also, egal welchen Punkt du nimmst, du wirst immer das gleiche Ergebnis für die Steigung der Geraden bekommen.