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Video-Transkript

In diesem Video werde ich eine Reihe beispielhafter Steigungsprobleme behandeln. Zur Erinnerung: Steigung ist ein Maß zur Ermittlung der Neigung einer Geraden. Zur Erinnerung: Steigung ist ein Maß zur Ermittlung der Neigung einer Geraden. Und die Definition -- wir erhalten davon hoffentlich eine gute Arbeitserfahrung in diesem Video -- die Definition ist die y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. die Definition ist die y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. Das scheint jetzt noch eher wenig Sinn für euch zu ergeben, aber je mehr Beispiele wir behandeln, desto mehr werdet ihr verstehen. aber je mehr Beispiele wir behandeln, desto mehr werdet ihr verstehen. Zunächst diese Gerade hier, Gerade a. Zunächst diese Gerade hier, Gerade a. Ermittlen wir ihre Steigung. Es sind im Prinzip schon zwei Punkte gegeben, die wir als Referenzpunkte benutzen können. Es sind im Prinzip schon zwei Punkte gegeben, die wir als Referenzpunkte benutzen können. Betrachten wir zunächst die Korrdinaten dieser Punkte. Betrachten wir zunächst die Korrdinaten dieser Punkte. Wir haben also diesen Punkt hier. Wie lauten seine Koordinaten? Die x-Koordinate ist 3, die y-Koordinate 6. Die x-Koordinate ist 3, die y-Koordinate 6. Bei dem Punkt hier unten ist die x-Koordinate -1 und die y-Koordinate -6. Bei dem Punkt hier unten ist die x-Koordinate -1 und die y-Koordinate -6. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Steigung zu beschreiben. Einmal können wir sie mit der Formel beschreiben. Also Steigung ist gleich die y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. Also Steigung ist gleich die y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. Wir können sie numerisch ermitteln. Eine zweite Möglichkeit ist, sie grafisch darzustellen. Was ist nun also unsere y-Änderung? Unsere y-Änderung ist einfach, um wie viel sich unser y-Wert verändert, je weiter wir von diesem zu diesem Punkt gehen. Unsere y-Änderung ist einfach, um wie viel sich unser y-Wert verändert, je weiter wir von diesem zu diesem Punkt gehen. Um wie viel hat sich also unser y-Wert verändertß Unser y beginnt hier, y ist bei -6 und geht hoch bis +6. Unser y beginnt hier, y ist bei -6 und geht hoch bis +6. Wie groß ist diese Distanz hier? Das ist unser Endpunkt y-Wert. Er ist 6 minus den y-Wert des Startpunktes. Minus -6 bzw. 6 plus 6, also gleich 12. Man kann es abzählen. Wir sagen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Wir sagen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Beim Verändern unseres y-Wertes um 12 müssen wir also unseren x-Wert um wie viel verändern? Beim Verändern unseres y-Wertes um 12 müssen wir also unseren x-Wert um wie viel verändern? Beim Verändern unseres y-Wertes um 12 müssen wir also unseren x-Wert um wie viel verändern? Wir gehen von x = -1 zu x = 3. Wir gehen von x = -1 zu x = 3. Richtig? x geht von -1 zu 3. Wir nehmen also den Endpunkt, 3 minus den Startpunkt, -1, ist gleich 4. Wir nehmen also den Endpunkt, 3 minus den Startpunkt, -1, ist gleich 4. Unsere y-Änderung/x-Änderung ist also gleich 12/4, oder einfach ausgedrückt, dasselbe wie 3. Unsere y-Änderung/x-Änderung ist also gleich 12/4, oder einfach ausgedrückt, dasselbe wie 3. Unsere y-Änderung/x-Änderung ist also gleich 12/4, oder einfach ausgedrückt, dasselbe wie 3. Nun kommen wir zur Interpretation dieses Ergebnisses: y-Änderung/x-Änderung ist gleich 3 bzw. 3/1. y-Änderung/x-Änderung ist gleich 3 bzw. 3/1. Für 1 Einheit, die wir in positiver x-Richtung gehen, bewegen wir uns auch 3 Einheiten nach oben, Für 1 Einheit, die wir in positiver x-Richtung gehen, bewegen wir uns auch 3 Einheiten nach oben, da dies eine +3 in y-Richtung ist. Hier: Bei 1 in x-Richtung gehen wir +3 in y-Richtung. Wir gehen 1 nach rechts, bewegen uns 3 nach oben. Gehen wir 2 nach rechts, bewegen wir uns 6 nach oben. Gehen wir 2 nach rechts, bewegen wir uns 6 nach oben. 6/2 ist dasselbe wie 3. Diese 3 sagt uns also, wie schnell wir mit jeder x-Zunahme nach oben gehen. Dasselbe machen wir nun für die zweite Gerade in diesem Graphen, Graph b. Dasselbe machen wir nun für die zweite Gerade in diesem Graphen, Graph b. Hier genauso. Wir benutzen die uns gegebenen Punkte. Wir können im Prinzip jeden Punkt auf dieser Geraden verwenden. Wir haben eine Punkt hier, (0|1). Wir haben eine Punkt hier, (0|1). Das ist der Endpunkt. Dann der Startpunkt, das wären x = -6 und y = -2. Dann der Startpunkt, das wären x = -6 und y = -2. Dann der Startpunkt, das wären x = -6 und y = -2. Gleiches Vorgehen. Wie hoch ist die y-Veränderung bei gegebener x-Veränderung? Zunächst die x-Veränderung. Wie hoch ist sie? Zunächst die x-Veränderung. Wie hoch ist sie? Wie hoch ist die x-Veränderung hier? Delta x. Wir können abzählen. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es ist 6. Wir können abzählen. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es ist 6. Wir können abzählen. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es ist 6. Falls ihr keinen Graph zum Abzählen habt, könnt ihr einfach die x-Endposition nehmen, 0, Falls ihr keinen Graph zum Abzählen habt, könnt ihr einfach die x-Endposition nehmen, 0, und sie von eurer x-Startposition abziehen. 0 minus -6. Unsere x-Veränderung beträgt also 6, wie groß ist nun unsere y-Veränderung? Unsere x-Veränderung beträgt also 6, wie groß ist nun unsere y-Veränderung? Erinnert euch: Das war unsere Endposition. Das hier ist unsere Anfangsposition. Wir haben also 0 minus -6 gerechnet. Beim y müssen wir nun 1 minus -2 rechnen. Was ist 1 minus -2? Dasselbe wie 1 plus 2. Gleich 3. Dasselbe wie 1 plus 2. Gleich 3. Es ist also 3/6 bzw. 1/2. Beim Bewegen um 6 in x-Richtung gehen wir gleichzeitig auch um +3 in y-Richtung. Beim Bewegen um 6 in x-Richtung gehen wir gleichzeitig auch um +3 in y-Richtung. Unsere y-Änderung war also 3, während unsere x-Änderung 6 beträgt. Nun, eine der Fragen, die bei vielen immer wieder aufkommt, ist die Reihenfolge hier. Woher weiß ich, dass ich erst die 0 und dann die -6 nehme und dann erst die 1 und danach die -2? Woher weiß ich, dass ich erst die 0 und dann die -6 nehme und dann erst die 1 und danach die -2? Woher weiß ich, dass ich erst die 0 und dann die -6 nehme und dann erst die 1 und danach die -2? Die Antwort ist: Ihr könnt es in beliebiger Reihenfolge machen, solange ihr es genau macht. Die Antwort ist: Ihr könnt es in beliebiger Reihenfolge machen, solange ihr es genau macht. Ihr könnt also auch sagen y-Änderung/x-Änderung. Ihr könnt also auch sagen y-Änderung/x-Änderung. Also gleich -2 minus 1. Wir verwenden also die Koordinate zuerst. -2 minus 1 für y, geteilt durch -6 minus 0. Wir verwenden also die Koordinate zuerst. -2 minus 1 für y, geteilt durch -6 minus 0. Wichtig: Das hier ist das Negative von dem und das das Negative von diesem hier. Wichtig: Das hier ist das Negative von dem und das das Negative von diesem hier. Da wir aber Minus geteilt durch Minus haben, fallen diese hier heraus. Da wir aber Minus geteilt durch Minus haben, fallen diese hier heraus. Das ist dann gleich -3/-6. Das Minus fällt weg. Das ist dann gleich 1/2. Wichtig: Wenn ihr diese y-Koordinate zuerst nehmt, müsst ihr diese x-Koordinate zuerst nehmen. Wichtig: Wenn ihr diese y-Koordinate zuerst nehmt, müsst ihr diese x-Koordinate zuerst nehmen. Wichtig: Wenn ihr diese y-Koordinate zuerst nehmt, müsst ihr diese x-Koordinate zuerst nehmen. Wenn ihr zuerst diese y-Koordinate nehmt, wie hier, müsst ihr auch diese x-Koordinate zuerst nehmen. Wenn ihr zuerst diese y-Koordinate nehmt, wie hier, müsst ihr auch diese x-Koordinate zuerst nehmen. Wenn ihr zuerst diese y-Koordinate nehmt, wie hier, müsst ihr auch diese x-Koordinate zuerst nehmen. Ihr müsst einfach sichergehen, dass ihr für x und y jeweils die richtigen Start- und Endpunkte nehmt. Ihr müsst einfach sichergehen, dass ihr für x und y jeweils die richtigen Start- und Endpunkte nehmt. Ihr müsst einfach sichergehen, dass ihr für x und y jeweils die richtigen Start- und Endpunkte nehmt. Das hier sagt uns, dass wir für jede -6 in x-Richtung, hier also rückwärts, -3 in y-Richtung gehen. Das hier sagt uns, dass wir für jede -6 in x-Richtung, hier also rückwärts, -3 in y-Richtung gehen. Das hier sagt uns, dass wir für jede -6 in x-Richtung, hier also rückwärts, -3 in y-Richtung gehen. Das hier sagt uns, dass wir für jede -6 in x-Richtung, hier also rückwärts, -3 in y-Richtung gehen. Im Prinzip sagen sie alle dasselbe aus. Die Steigung dieser Geraden beträgt 1/2. Für jede 2 in x-Richtung bewegen wir uns also um 1 in y-Richtung. Bzw. für jede 2 zurück in x-Richtung bewegen wir uns um 1 nach unten in y-Richtung. Das sagt also die Steigung 1/2 aus. Beachtet, dass die Gerade mit der Steigung 1/2 weniger steil als die Gerade mit der Steigung 3 ist. Beachtet, dass die Gerade mit der Steigung 1/2 weniger steil als die Gerade mit der Steigung 3 ist. Ein paar weitere Beispiele: Betrachten wir hier zunächst Gerade c, in pink. Betrachten wir hier zunächst Gerade c, in pink. Wir haben wieder unseren Startpunkt. Wir haben wieder unseren Startpunkt. Nutzen wir die uns hier gegebenen Punkte. Der Startpunkt befindet sich an der Koordinate (-1|6), der Endpunkt bei (5|-6). Der Startpunkt befindet sich an der Koordinate (-1|6), der Endpunkt bei (5|-6). Unsere Steigung ist gleich der x-Änderung - nein - der y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. Unsere Steigung ist gleich der x-Änderung - nein - der y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. Unsere Steigung ist gleich der x-Änderung - nein - der y-Änderung geteilt durch die x-Änderung. y-Änderung/x-Änderung. Man sagt auch "rise/run". "Run" ist die Bewegung in horizontaler Richtung, "rise" die in vertikaler Richtung. "Run" ist die Bewegung in horizontaler Richtung, "rise" die in vertikaler Richtung. Anschließend können wir sagen, dass die y-Änderung unser y-Endpunkt minus dem Startpunkt ist. Anschließend können wir sagen, dass die y-Änderung unser y-Endpunkt minus dem Startpunkt ist. Das ist unser y-Endpunkt. Das ist unser y-Startpunkt, geteilt durch unseren x-Endpunkt minus unseren x-Startpunkt. Das ist unser y-Startpunkt, geteilt durch unseren x-Endpunkt minus unseren x-Startpunkt. Alles was ich damit sage, ist: ...gleich unserem y-Endpunkt, -6, minus unserem y-Startpunkt, 6, geteilt Alles was ich damit sage, ist: ...gleich unserem y-Endpunkt, -6, minus unserem y-Startpunkt, 6, geteilt durch unseren x-Endpunkt, 5, minus unserem x-Startpunkt, -1. durch unseren x-Endpunkt, 5, minus unserem x-Startpunkt, -1. Das hier ist gleich -6 minus 6 ist gleich -12. 5 minus -1 ist gleich 6. 5 minus -1 ist gleich 6. Also -12/6. Das ist dasselbe wie -2. Beachtet, dass wir hier eine negative Steigung haben. Das ist, weil wir bei jeder x-Erhöhung um 1 in y-Richtung nach unten gehen. Das ist, weil wir bei jeder x-Erhöhung um 1 in y-Richtung nach unten gehen. Es ist also eine nach unten gerichtete Steigung. Sie geht von links oben nach rechts unten. Wenn x zunimmt, nimmt y ab. Daher haben wir eine negative Steigung. Diese Gerade hier sollte eine positive Steigung haben. Prüfen wir das nach. Ich benutze die gleichen Punkte, die oben bereits gegeben sind. Ich benutze die gleichen Punkte, die oben bereits gegeben sind. Das ist also Gerade d. Steigung ist gleich Rise/Run. Wie weit steigen wir, wenn wir uns von diesem zu diesem Punkt bewegen? Wir können es so machen: Wir können es so machen: Wir steigen - das kann ich abzählen. Wir steigen um 1, 2, 3, 4, 5 -- um 6. Wir steigen um 1, 2, 3, 4, 5 -- um 6. Wie weit gehen wir nach rechts? Wir gehen 1, 2, 3, 4, 5 -- 6 nach rechts. Wir gehen 1, 2, 3, 4, 5 -- 6 nach rechts. Unsere Steigung beträgt also 6/6, was 1 ergibt. Dies sagt uns, dass wir für jede, posititve, Bewegung um 1 in x-Richtung auch um +1 in y-Richtung gehen. Dies sagt uns, dass wir für jede, posititve, Bewegung um 1 in x-Richtung auch um +1 in y-Richtung gehen. Dies sagt uns, dass wir für jede, posititve, Bewegung um 1 in x-Richtung auch um +1 in y-Richtung gehen. Für -2 in x-Richtung gehen wir auch -2 in -2 in y-Richtung. Für -2 in x-Richtung gehen wir auch -2 in y-Richtung. Was auch immer mit x passiert, wir machen dassselbe mit y in dieser Steigung. Was auch immer mit x passiert, wir machen dassselbe mit y in dieser Steigung. Das war recht einfach. Für die mathematische Lösung könnten wir die Korrdinate hier ermitteln. Für die mathematische Lösung könnten wir die Korrdinate hier ermitteln. Das ist im Prinzip unsere Startposition. Unsere Startposition ist (-2|-4). Unsere Endposition ist (4|2). Unsere Steigung, y-Änderung/x-Änderung. Nehmen wir diesen Punkt hier, 2 minus -4, geteilt durch 4 minus -2. Nehmen wir diesen Punkt hier, 2 minus -4, geteilt durch 4 minus -2. 2 minus -4 ist 6. Beachtet, das war lediglich diese Strecke hier. Dann 4 minus -2, das ist ebenfalls 6. Das ist diese Strecke hier. Wir erhalten eine Steigung von 1. Und gleich ein weiteres Beispiel: Und gleich ein weiteres Beispiel: Diese hier sind interessant. Nehmen wir Gerade e hier. y-Änderung/x-Änderung. Unsere y-Änderung, wenn wir von diesem Punkt zu diesem gehen - ich zähle es einfach ab. Unsere y-Änderung, wenn wir von diesem Punkt zu diesem gehen - ich zähle es einfach ab. Das sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 -- es sind 8. Das sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 -- es sind 8. Oder man nimmt einfach diese y-Koordinate 2 minus -6 und man erhält dafür die Entfernung 8. Oder man nimmt einfach diese y-Koordinate 2 minus -6 und man erhält dafür die Entfernung 8. Wie hoch ist die y-Änderung? Nun, der y-Wert hier ist - Moment, was ist unsere x-Änderung? Der x-Wert hier ist 4. Der x-Wert hier ist 4. x bleibt unverändert. Also ist es 8/0. Nun, wir wissen es nicht. 8/0 ist nicht definiert. In dieser Situation ist die Steigung also nicht definiert. Bei einer vertikalen Linie sprechen wir von einer nicht definierten Steigung. Bei einer vertikalen Linie sprechen wir von einer nicht definierten Steigung, da man durch 0 dividiert. Bei einer vertikalen Linie sprechen wir von einer nicht definierten Steigung, da man durch 0 dividiert. Bei einer vertikalen Linie sprechen wir von einer nicht definierten Steigung, da man durch 0 dividiert. Das sagt uns, dass wir es hier mit einer vertikalen Geraden zu tun haben. Das sagt uns, dass wir es hier mit einer vertikalen Geraden zu tun haben. Machen wir noch diese hier. Das sieht nach einem ganz üblichen Steigungsproblem aus. Das sieht nach einem ganz üblichen Steigungsproblem aus. Wir haben diesen Punkt hier, (3|1). Wir haben diesen Punkt hier, (3|1). Das ist Gerade f. Wir haben den Punkt (3|1). Hier drüben haben wir dann den Punkt (-6|-2). Unsere Steigung wäre dann gleich der y-Änderung. Ich nehme das hier als unseren Endpunkt, nur damit man in unterschiedliche Richtungen gehen kann. Ich nehme das hier als unseren Endpunkt, nur damit man in unterschiedliche Richtungen gehen kann. Unsere y-Änderung also - jetzt bewegen wir uns in diese Richtung. Unsere y-Änderung also - jetzt bewegen wir uns in diese Richtung. Sie ist -2 minus 1. Das ist diese Entfernung hier. -2 minus 1 ist gleich -3. Erinnert euch, wir sind um 3 nach unten gegangen. Und was ist dann unsere x-Änderung? Nun, wir gehen zurück zu diesem Wert hier. Was ist das für ein Wert? Es ist -6, das ist unser Endpunkt, minus 3. Es ist -6, das ist unser Endpunkt, minus 3. Das gibt uns die Entfernung, -9. Jedes Mal, wenn wir um 9 zurück gehen, bewegen wir uns um 3 nach unten. Das ist dasselbe, als wenn wir um 9 nach vorne und um 3 nach oben gehen. Das ist dasselbe, als wenn wir um 9 nach vorne und um 3 nach oben gehen. Alles äquivalent. Diese hier fallen weg und wir erhalten eine Steigung von 1/3. +1/3. Es ist eine nach oben steigende Gerade. Bei jeder Bewegung um 3 nach rechts, steigen wir um 1 nach oben. Ich hoffe, dass das Video euch beim Problem von Steigungen sehr geholfen hat.