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Wir haben schon einige Geraden gesehen vielleicht hast du bereits gemerkt, dass diese Geraden unterschiedlich sind. Diese rosa Gerade ist zum Beispiel steiler als die blaue. Diese rosa Gerade ist zum Beispiel steiler als die blaue. Die "Steigung", wie steil eine Gerade ist, Die "Steigung", wie steil eine Gerade ist, wie schnell sie aufsteigt oder absteigt, ist ein sehr nützliches Konzept in der Mathematik. Wir hätten gerne eine Zahl für jede Gerade die beschreibt, wie steil sie ist. Wie schnell steigt oder fällt sie? Wie könnten wir das machen? Wir könnten wir eine Zahl finden, welche die Steilheit der Geraden beschreibt? Wir könnten fragen: Um wie viel steigt eine Gerade vertikal an bei einem gegebenen Anstieg in der horizontalen Richtung? Schreiben wir das mal auf. Vertikaler Anstieg Vertikaler Anstieg Vertikaler Anstieg für einen gegebenen horizontalen Anstieg. für einen gegebenen horizontalen Anstieg. für einen gegebenen horizontalen Anstieg. für einen gegebenen horizontalen Anstieg. Wie kommt da eine Zahl heraus? Schauen wir mal die rosa Linie an. Beginnen wir bei irgendeinem Punkt. Beginnen wir bei irgendeinem Punkt. Ich nehme einen, wo man den x und y - Wert gut ablesen kann. Ich nehme einen, wo man den x und y - Wert gut ablesen kann. Ich nehme einen, wo man den x und y - Wert gut ablesen kann. Starten wir hier. Wenn ich in der horizontalen Richtung um 1 größer werde, Wenn ich in der horizontalen Richtung um 1 größer werde, Ich gehe also 1 nach rechts. Damit ich zurück auf die Gerade komme, wie viel muss ich vertikal hinaufgehen? Um zwei muss ich hinaufgehen. Um zwei muss ich hinaufgehen. Für die rosa Gerade ist der Anstieg gleich 2 Für die rosa Gerade ist der Anstieg gleich 2 wenn ich horizontal um 1 zunehme. wenn ich horizontal um 1 zunehme. Funktioniert das noch, auch wenn ich hier starte. Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe, Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe, Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe, also plus 3 in horizontaler Richtung, also plus 3 in horizontaler Richtung, um dann wieder auf die rosa Gerade zu kommen, wie viel muss ich vertikal hinaufgehen? Ich muss um 1, 2, 3, 4, 5, 6 hinaufgehen. Ich muss um sechs hinaufgehen. Also plus 6. Wenn ich um drei horizontal größer werde, Wenn ich um drei horizontal größer werde, werde ich vertikal um sechs größer. Wir messen einfach: Wie viel gehen wir vertikal hinauf für einen bestimmten horizontalen Anstieg? Zwei dividiert durch eins ist einfach zwei. Sechs dividiert durch drei ist dasselbe. Egal, wo ich auf dieser Geraden beginne, Egal, wo ich auf dieser Geraden beginne, wenn ich horizontal um einen bestimmten Wert größer werde, wenn ich horizontal um einen bestimmten Wert größer werde, nehme ich doppelt so viel nehme ich doppelt so viel in der vertikalen Richtung zu. nehme ich doppelt so viel in der vertikalen Richtung zu. Diesen Begriff von vertikalem Anstieg dividiert durch horizontalen Anstieg verwenden Mathematiker, um die Steilheit von Geraden zu beschreiben. Und das nennt man die "Steigung". Man nennt das die "Steigung" einer Geraden. Du kennst wahrscheinlich die Steigung im Zusammehang mit einer Skipiste. Skipisten haben eine bestimmte Steilheit. Es gibt steile und weniger steile Skipisten. Steigung ist also ein Mass, wie steil etwas ist. Man misst den vertikalen Anstieg für einen bestimmten horizontalen Anstieg. 2 dividiert durch 1 ist gleich 6 dividiert durch 3 ist gleich 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2. ist gleich 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2. Ich schreibe das auf. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2. Man kann sich das so vorstellen: Egal wieviel du horizontal ansteigst, vertikal steigst du immer doppelt so viel an. vertikal steigst du immer doppelt so viel an. Jetzt die blaue Gerade: Wie groß ist die Steigung der blauen Geraden? Ich schreibe das nun anders auf, so wie man oft die Definition der Steigung sieht. So schreiben es die Mathematiker auf: So schreiben es die Mathematiker auf: So schreiben es die Mathematiker auf: Wie groß ist die Änderung in vertikaler Richtung für eine gegebene Änderung in horizontaler Richtung? Ich führe nun ein neues Zeichen ein: Änderung in vertikaler Richtung Vertikal ist hier die y-Achse Vertikal ist hier die y-Achse dividiert durch Änderung in horizontaler Richtung. Die horizontale Koordinate ist x in diesem Koordinatensystem hier. Jetzt sagst du, warte mal, du hast Änderung gesagt, und dieses Dreieck hingemalt. Jetzt sagst du, warte mal, du hast Änderung gesagt, und dieses Dreieck hingemalt. Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta. Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta. Es ist ein mathematisches Symbol für die "Änderung" von etwas. Das ist Delta. Das bedeutet Änderung in y, Das bedeutet Änderung in y, dividiert durch Änderung in x. dividiert durch Änderung in x. Wenn wir also die Steigung der blauen Geraden wollen, müssen wie fragen, um wie viel ändert sich y für eine gegebene Änderung in x? Die Steigung der blauen Gerade. Fangen wir irgendwo an. Mein x ändert sich um 2. Mein Delta x ist also plus 2. Wie groß ist mein Delta y? Wie groß ist meine Änderung von y? Wenn ich um zwei nach rechts gehe, um zurück auf die Gerade zu kommen muss ich y um zwei erhöhen. Meine Änderung von y ist also auch gleich 2. Die Steigung dieser blauen Geraden Die Steigung dieser blauen Geraden ist Änderung in y dividiert durch Änderung in x. Wir haben eben gemessen, dass wenn unsere Änderung in x plus zwei ist so ist unsere Änderung in y auch plus 2. Unsere Steigung ist 2 dividiert durch 2, das ist 1. Das bedeutet, dass egal um wie viel wir x verändern, y wird um den gleichen Wert verändert. Wenn unser x um eins ansteigt, steigt unser y auch um eins an. Wenn unser x um eins ansteigt, steigt unser y auch um eins an. Wenn unser x um eins ansteigt, steigt unser y auch um eins an. Das stimmt auf jedem Punkt unserer Geraden. Wenn unser x um 3 ansteigt, steigt unser y auch um 3 an. Es stimmt auch in die andere Richtung. Wenn unser x um 1 abnimmt, nimmt unser y auch um 1 ab. Wenn unser x um 2 abnimmt, nimmt unser y auch um 2 ab. Das macht auch mit der Formel Sinn. Wenn unsere Änderung von x gleich -2 ist, so wie hier, unsere Änderung in x ist minus zwei wir sind um 2 zurückgegangen, dann ist auch die Änderung von y gleich -2. dann ist auch die Änderung von y gleich -2. -2 dividiert durch -2 ist +1, was wieder die Steigung ist.