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Gleichungssysteme mit Elimination: Äpfel und Orangen

Video-Transkript
Du stehst an einem Obststand um frisches Obst zu bekommen. Dir fällt auf, dass die Person vor dir 5 Äpfel und 4 Orangen für 10 Dollar bekommt. Dir fällt auf, dass die Person vor dir 5 Äpfel und 4 Orangen für 10 Dollar bekommt. Du erhältst 5 Äpfel und 5 Orangen für 11 Dollar. Können wir nach den Äpfel- und dem Orangenpreisen auflösen, indem wir die Angaben Können wir nach den Äpfel- und dem Orangenpreisen auflösen, indem wir die Angaben in einem linearen Gleichungssystem zweier Variablen benutzen? Wenn ja, was ist die Lösung? Wenn nicht, was ist der Grund dafür? Wir wollen also den Preis für einen Apfel und den einer Orange ermitteln. Wir wollen also den Preis für einen Apfel und den einer Orange ermitteln. Ich würde "a" für Apfel nehmen, ein "o" für Orange siehtjedoch dagegen zu sehr wie eine 0 aus. Ich würde "a" für Apfel nehmen, ein "o" für Orange siehtjedoch dagegen zu sehr wie eine 0 aus. Wir nehmen deswegen einfach "x" für den Apfelpreis, Wir nehmen deswegen einfach "x" für den Apfelpreis, Wir nehmen deswegen einfach "x" für den Apfelpreis, und "y" für den Orangenpreis. und "y" für den Orangenpreis. Was ist nun mit der Person vor uns? Was ist nun mit der Person vor uns? Sie hat 5 Äpfel gekauft. Wie viel hat sie für die Äpfel gezahlt? Nun, sie hat 5 Äpfel gekauft, mal x Dollar pro Apfel, also hat sie 5x Dollar für ihre 5 Äpfel gezahlt. Und sie hat 4 Orangen gekauft. 4 Orangen mal y Dollar pro Orange. Also hat sie 4y für Orangen bezahlt. Insgesamt hat die Person 5x plus 4y bezahlt, laut Angabe also 10 Dollar. Insgesamt hat die Person 5x plus 4y bezahlt, laut Angabe also 10 Dollar. Ist gleich 10 Dollar. Nun bist du dran und kaufst 5 Äpfel. Nun bist du dran und kaufst 5 Äpfel. Du zahlst x Dollar pro Apfel, also 5 Äpfel mal dem Preis pro Apfel. also 5 Äpfel mal dem Preis pro Apfel. Dann kaufst du 5 Orangen. Hier zahlst du 5 Orangen mal dem Preis pro Orange, also "y". Hier zahlst du 5 Orangen mal dem Preis pro Orange, also y. So viel gibst du für die Orangen aus, so viel für die Orangen UND Äpfel, die Summe. Und das sind laut Angabe 11 Dollar. Können wir nun also nach x und y auflösen? Sieht so aus. Wichtig ist das unterschiedliche Verhältnis zwischen x und y in den beiden Gleichungen. Wichtig ist das unterschiedliche Verhältnis zwischen x und y in den beiden Gleichungen. Wichtig ist das unterschiedliche Verhältnis zwischen x und y in den beiden Gleichungen. Wichtig ist das unterschiedliche Verhältnis zwischen x und y in den beiden Gleichungen. Wäre das Verhältnis genau dasselbe, wäre das hier ebenfalls 5x plus 4y, aber eine andere Zahl, hätten wir ein Problem, da wir diesselbe Kombination, aber einen anderen Preis hätten. da wir diesselbe Kombination, aber einen anderen Preis hätten. Das Gute ist, dass wir hier eine andere Kombination haben. Das Gute ist, dass wir hier eine andere Kombination haben. Versuchen wir es mal. Das offensichtlichste, was mir auffällt, sind die 5x hier unten und die 5x hier oben. Das offensichtlichste, was mir auffällt, sind die 5x hier unten und die 5x hier oben. Wenn ich diese 5x nun oben subtrahiere, kann ich alle x-Terme eliminieren. Zunächst einmal multipliziere ich diese untere Gleichung mit -1. Zunächst einmal multipliziere ich diese untere Gleichung mit -1. Also wird sie zu: -5x plus (-5y) gleich -11. Also wird sie zu: -5x plus (-5y) gleich -11. Dann addiere ich einfach diese beiden Gleichungen. Dann addiere ich einfach diese beiden Gleichungen. Das kann ich tun, da ich dasselbe auf beiden Seiten mache. Das kann ich tun, da ich dasselbe auf beiden Seiten mache. Ich weiß bereits, dass das hier gleich diesem hier ist. Also addiere ich dasselbe auf beiden Seiten. Auf der linke Seite habe ich 5x minus 5x, diese fallen weg. Und dann habe ich 4y minus 5y. Das ergibt -y. Das hier ist dann gleich 10 minus 11, also -1. Das hier ist dann gleich 10 minus 11, also -1. Wenn ich dann beide Seiten mit -1 multipliziere bzw. beide Seiten durch -1 teile, Wenn ich dann beide Seiten mit -1 multipliziere bzw. beide Seiten durch -1 teile, erhält man für y=1. Die Orangen kosten also 1 Dollar pro Orange. Die Orangen kosten also 1 Dollar pro Orange. Die Orangen kosten also 1 Dollar pro Orange. Die Orangen kosten also 1 Dollar pro Orange. Nun zum Apfelpreis. Wir gehen zurück in eine dieser Gleichungen. Ich gehe zur ersten Gleichung, das war die Person vor uns. Sie hat 5 Äpfel für x Dollar pro Apfel gekauft, plus 4 Orangen für 1 Dollar pro Orange, und dafür 10 Dollar gezahlt. Das hier ist 4. Subtrahieren wir 4 von beiden Seiten, und wir erhalten -- nun, 4 mal 1 minus 4, das fällt weg. Links bleibt lediglich 5x stehen. Auf der linken haben wir 10 minus 4, gleich 6. Wir können beide Seiten durch 6 teilen, um nach x aufzulösen. Wir können beide Seiten durch 6 teilen, um nach x aufzulösen. ... Moment. Wir können beide Seiten durch 5 teilen, um nach x aufzulösen. Spät am Tag, der Verstand streikt... Spät am Tag, der Verstand streikt... Durch 6 zu teilen, ändert nichts. Wir hätten 5/6x erhalten. Wir wollen hier aber nur ein x. Wir dividieren also beiden Seiten durch 5, erhalten für x gleich 6/5 Dollar. Bzw. x ist gleich 6/5, dasselbe wie 1 1/5, dasselbe wie 1 Dollar 20 Cent. Also ist es 1 Dollar pro Orange und 1 Dollar 20 Cent pro Apfel. Wir haben also tatsächlich die Preise für Äpfel und Orangen herausgefunden, indem wir die oben gegebenen Informationen benutzt haben.