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Gleichungssysteme mit Substitution: Münzen

Video-Transkript
Als Geburtstagsgeschenk bekommt Zoey ein elektronisches Sparschwein, das die Gesamtmenge des Geldes darin anzeigt, sowie die Anzahl der Münzen. Nachdem sie einige Münzen hineingegeben hat-- 5-Cent-Münzen (Nickels) und 25-Cent-Münzen (Quarters)-- zeigt das Display an: Dollar: 2,00 Münzen: 16 Wie viele 5-Cent und 25-Cent Münzen legte Zoey in das Sparschwein? Definieren wir zuerst einige Variablen. n sei die Anzahl der 5-Cent-Münzen (Nickel). n sei die Anzahl der 5-Cent-Münzen (Nickel). q sei die Anzahl der 25-Cent-Münzen. Wie viele Münzen haben wir insgesamt? n plus q, also Anzahl der 5-Cent-Münzen plus Anzahl der 25-Cent-Münzen, n plus q, also Anzahl der 5-Cent-Münzen plus Anzahl der 25-Cent-Münzen, n plus q, also Anzahl der 5-Cent-Münzen plus Anzahl der 25-Cent-Münzen, muss gleich sein-- Wir haben insgesamt 16 Münzen, steht hier. n plus q sind also 16 Münzen. Wir haben insgesamt 16 Münzen, steht hier. n plus q sind also 16 Münzen. Wir haben insgesamt 16 Münzen, steht hier. n plus q sind also 16 Münzen. Das ist die eine Gleichung. Und wie viel Geld haben wir insgesamt? Nun, die Anzahl der 5-Cent-Münzen mal 0,05 ergibt den Geldbetrag in 5-Cent-Münzen. ergibt den Geldbetrag in 5-Cent-Münzen. Also 0,05 mal die 5-Cent-Münzen plus den Geldbetrag aus den 25-Cent-Münzen. Also 0,05 mal die 5-Cent-Münzen plus den Geldbetrag aus den 25-Cent-Münzen. Und das sind 0,25 pro 25-Cent-Münze, ein Viertel Dollar. Also 0,25 mal Anzahl der 25-Cent-Münzen. Wenn ich zum Beispiel vier 25-Cent-Münzen hätte und keine 5-Cent-Münze, dann wären dies 4 mal 0,25 $ und das wäre 1$. Und keine 5-Cent-Münzen. Wie viele 5-Cent-Münzen ich habe mal 0,05 plus wie viele 25-Cent-Münzen ich habe mal 0,25. Das ist der Geldbetrag, den ich habe. Und das Sparschwein sagt , dass das 2 $ sind. Und das Sparschwein sagt , dass das 2 $ sind. Damit haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wir können nach n und q auflösen. Am einfachsten geht hier Substituieren. Am einfachsten geht hier Einsetzen (Substitution). Lösen wir oben nach q auf. Wenn n plus q gleich 16 ist, dann können wir n von beiden Seiten der Gleichung abziehen. n plus q gleich 16, minus n auf beiden Seiten, ergibt q gleich 16 minus n. n plus q gleich 16, minus n auf beiden Seiten, ergibt q gleich 16 minus n. Ich habe die erste Nebenbedingung nur umgeschrieben: Ich habe die erste Nebenbedingung nur umgeschrieben: q, die Anzahl der 25-Cent-Münzen, ist gleich 16 minus der Anzahl der 5-Cent-Münzen. q, die Anzahl der 25-Cent-Münzen, ist gleich 16 minus der Anzahl der 5-Cent-Münzen. q, die Anzahl der 25-Cent-Münzen, ist gleich 16 minus der Anzahl der 5-Cent-Münzen. Das können wir in der zweiten Nebenbedingung für jedes q einsetzen. Das können wir in der zweiten Nebenbedingung für jedes q einsetzen. Statt q schreiben wir immer 16 minus n. Statt q schreiben wir immer 16 minus n. Die zweite Nebenbedingung wird 0,05 n plus 0,25 mal ( Die zweite Nebenbedingung wird 0,05 n plus 0,25 mal ( (Statt q schreibe ich 16 minus n.) (Das steht hier. q ist gleich 16 minus n.) gleich 2,00 $. Wir lösen dieses Gleichungsystem durch Substitution. Können wir es noch vereinfachen? Lass uns die 0,25 ausklammern. 0,25 mal 16 und mal minus n. 0,25 mal 16 ist gleich 1 Viertel mal 16 das gibt 4. 0,25 mal minus n ist minus 0,25 n. Und das ist gleich 2,00 $. Und das ist gleich 2,00 $. Und das ist gleich 2,00 $. Wir haben hier: 0,05 n minus 0,25 n 0,05 n minus 0,25 n 0,05 n minus 0,25 n das sind minus 0,20 n das sind minus 0,20 n Wenn ich die beiden Terme kombiniere, erhalte ich 0,2 n. Wenn ich die beiden Terme kombiniere, erhalte ich 0,2 n. Plus 4. Plus 4 ist gleich 2. Nun können wir nach n auf der linken Seite auflösen. Wir subtrahieren 4 von beiden Seiten der Gleichung. Wir subtrahieren 4 von beiden Seiten der Gleichung. Und wir erhalten-- minus 0,20 n ist gleich-- minus 4 plus 2 ist minus 2-- ist gleich minus 2. Wir teilen nun beide Seiten durch minus 0,2. Wir teilen nun beide Seiten durch minus 0,2. Wir teilen nun beide Seiten durch minus 0,2. Wir teilen nun beide Seiten durch minus 0,2. Also, minus 2 geteilt durch minus 0,2. Das hier kürzt sich raus und wir erhalten n ist gleich-- das minus kürzt sich weg. 2 geteilt durch 0,2 ist einfach 10. 2 geteilt durch 0,2 ist einfach 10. Aus der ersten Bedingung wissen wir: q gleich 16 minus n Aus der ersten Bedingung wissen wir: q gleich 16 minus n Aus der ersten Bedingung wissen wir: q gleich 16 minus 10 also 6. Zoey hat also zehn 5-Cent-Münzen in ihr Sparschwein gegeben Zoey hat also zehn 5-Cent-Münzen in ihr Sparschwein gegeben und sechs 25-Cent-Münzen. Wir können das noch überprüfen. Sie hat 16 Münzen, das stimmt. Sie hat 16 Münzen, das stimmt. 10 5-Cent und 6 25-Cent Münzen sind 16 Münzen. 10 5-Cent und 6 25-Cent Münzen sind 16 Münzen. Und wir können auch nachprüfen, ob der Geldbetrag stimmt. 10 5-Cent-Münzen sind 50 Cents, 10 mal 5 Cents sind 50 Cents. 10 5-Cent-Münzen sind 50 Cents, 10 mal 5 Cents sind 50 Cents. 6 25-Cent-Münzen sind 1,50 Euro. 6 25-Cent-Münzen sind 1,50 Euro. Im Sparschwein sind also 50 Cents plus 1,50 Euro, 2 Euro insgesamt. Im Sparschwein sind also 50 Cents plus 1,50 Euro, 2 Euro insgesamt. Die Überprüfung stimmt also.