Beispielübung: Nicht-äquivalente Gleichungssysteme

Der Lehrer von Scarlett und Hansol gab ihnen ein System von linearen Gleichungen. Sie unternahmen beide einige Schritte, die zu den Systemen hier unten in der Tabelle führten. Das hier ist das System des Lehrers. Das hier ist das, was Scarlett nach einigen Schritten entwickelte. Das hier ist das, was Hansol hat. Wer von den beiden erhielt ein System, das äquivalent zum System des Lehrers ist? Zur Erinnerung: Ein äquivalentes System ist ein System, das zumindest für unsere Zwecke die gleiche Lösung hat oder das gleiche Set von Lösungen hat. Wenn es als ein Paar xy gibt, das dieses System erfüllt sodass Scarlett's System äquivalent ist, muss es die gleiche Lösung haben. Schauen wir uns das hier an. Scarlett, lass uns schauen, ob diese zusammenpassen. Ihre zweite Gleichung hier ist sehr interessant. Ihre zweite Gleichung 14x minus 7y gleich 2 hier die Gleichung des Lehrers 14x minus 7y gleich 7. Das ist interessant, weil das Verhältnis zwischen x und y dasselbe ist aber der konstante Term, der konstante Term ist unterschiedlich. Ich behaupte, dass dies allein dir zeigt, dass Scarlett's System eben nicht äquivalent zum System des Lehrers ist. Du fragst jetzt, wieso ich das sagen kann? Wenn du diese zwei Gleichungen als Achsenabschnittsform darstellst, wirst du das sehen, denn die x- und y-Terme sind gleich. Du wirst also die gleiche Steigung haben, aber du wirst unterschiedliche Y-Achsenabschnitte haben. Wir können nach y auflösen. Diese Gleichung hier können wir umformen, indem wir 14x von beiden Seiten abziehen und -7y minus 14 erhalten. Ups, -7y ist gleich -14x plus 7 und wir könnten beide Seiten durch -7 dividieren. Du erhältst y gleich 2x minus 1. Ich habe lediglich dies algebraisch umformuliert. Das ist diese Gerade. Ich könnte dies auch graphisch darstellen. Ich zeichne ein schnelles Koordinatensystem. Das ist jetzt ganz grob gezeichnet. Schelle Koordinatenachse hierin, und dann diese Gerade und diese Gerade würde ungefähr so aussehen. Der y-Achsenabschnitt ist -1 und hat eine Steigung von 2. Lass mich eine Geraden zeichnen mit einer Steigung von 2. Das sieht in etwas so aus. Das ist diese Gerade hier oder diese hier. Lass uns weitersehen. Dies hier wird nach der gleichen Algebra zu folgendem: -7y gleich 14x plus 2, oder, wenn ich alles durch -7 dividieren erhalte ich y gleich 2x minus 2/7 Und das sieht ungefähr so aus: Der y-Achsenabschnitt liegt bei -2/7. Etwa hier. Damit sieht die Gerade etwa so aus. Ich gebe mein Bestes, um das einigermaßen ordentlich zu zeichen. Es sieht etwa so aus, nein, das ist noch nicht ganz richtig, es sieht etwa so aus. Ich fange einfach nochmal an. Es sieht etwa so aus. Etwa so. Die Gerade hat die gleiche Steigung und geht natürlich auch in diese Richtung. Lass mich das kurz zeichnen. Es hat also die gleiche Steigung, aber einen anderen y-Achsen-Abschnitt. Es sieht noch nicht ganz korrekt aus, aber du siehst, was ich meine. Diese beiden Geraden sind parallel. Die Geraden sind parallel, daher wird jede Koordinate, die dies erfüllt, nicht das andere erfüllen. Sie haben keine gemeinsamen Punkte. Es sind Parallelen. Das ist die Definition von Parallelen. Da diese und diese Gerade keine gemeinsamen Punkte haben, gibt es keine Möglichkeit für eine Lösung, die dies und dies erfüllt. Denn jedes xy, das dies erfüllt, kann dies nicht erfüllen und umgekehrt. Es sind Parallelen. Es gibt keine Punkte. Diese beiden Dinger werden sich niemals schneiden. Damit hat Scarlett kein äquivalentes System. Was ist mit Hansol? Wir sehen, dass es bei Hansol ganz ähnlich aussieht. 5x minus y, 5x minus y, aber: der konstante Term is unterschiedlich: -6, plus 3. Damit sind dies und dies parallele Geraden. Jedes Paar xy, das dies erfüllt hat keine Möglichkeit, dies zu erfüllen. Die beiden Geraden schneiden sich nicht. Es sind Parallelen. Hansol's System ist daher ebenfalls nicht äquivalent.