Beispielübung: Äquivalente Gleichungssysteme

Vivek und Camalia erhielten von ihrem Lehrer die Aufgabe, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Jeder von ihnen unternahm ein paar Schritte, die zu den Systemen in der Tabelle unten führten." Wir haben also das ursprüngliche System des Lehrers, was Vivek nach ein paar Rechenvorgängen hat, was Camila nach ein paar Rechenvorgängen hat. Wer von ihnen hat ein System bekommen, das äquivalent zum System des Lehrers ist? Zuerst sollten wir uns fragen, was bedeutet das überhaupt, ein äquivalentes System? Für diese Frage, oder für unsere Zwecke, ist ein äquivalentes System ein System, das die gleiche Lösung hat. Wenn es ein x-y-Paar gibt, das das System des Lehrers erfüllt, das ist die Lösung für das System des Lehrers. Wir nennen Viveks System äquivalent, wenn es die gleiche Lösung hat. Ebenso, wenn Camilas System die gleiche Lösung hat, nennen wir es äquivalent zum System des Lehrers. Machen wir hier also ein paar Vergleiche. Schauen wir zuerst zu Vivek. Seine erste Gleichung ist unverändert zur Gleichung des Lehrers, ist unverändert gegenüber der Gleichung des Lehrers, also wird jede Lösung, die die beiden Gleichungen erfüllt, sicher diese obere Gleichung erfüllen. weil sie ja genau dasselbe ist wie die obere Gleichung des Lehrers, das geht also auf. Schauen wir uns auch die Zweite an. Die zweite Gleichung ist sicher eine andere Gleichung. Wir können schauen, ob nicht einfach auf beiden Seiten mit einer Zahl multipliziert wurde. Um von 1 zu 0 zu kommen, müsstest du 1 mit 0 multiplizieren, und dann, um die Gleichheit zu bewahren, müsstest du das auf beiden Seiten tun. Mal 0 wäre die linke Seite 0, das Resultat wäre 0 = 0, also hat er nicht einfach beide Seiten mit einer Zahl skaliert, Sieht aus, als hätte er eine andere Operation vorgenommen. Sieht aus, als hätte er etwas bei beiden Seiten addiert oder subtrahiert. Wie hätte er das erhalten können? Er nahm - 4x + 5y = 1 Er nahm - 4x + 5y = 1 davon ausgehend kam er zu -3x + 7y = 0 -3x + 7y = 0 Wie konnte er dazu kommen? Mal sehen, er müsste, um von -4x zu -3x zu kommen, er müsste ein x addieren. Ich könnte einfach ein x hier hinschreiben. Um von 5y zu 7y zu kommen, müsste er 2y addieren. Also müsste er auf der linken Seite x + 2y addieren. Schau, wir haben ein x + 2y hier drüben. Und auf der rechten Seite müssten wir eine 1 subtrahieren oder -1 addieren. Du siehst, wir haben ein -1 da drüben. Er hat also die linken Seiten der Gleichungen addiert, um diese neue linke Seite hier zu erhalten und er hat die rechten Seiten addiert, um zur neuen rechten Seite zu gelangen. Und das ist ein zulässiger Rechenvorgang. Die neue Gleichung, die du hast, diese neue lineare Gleichung, wird eine andere Gerade darstellen als die Gerade hier, aber das sich ergebende System hat die gleiche Lösung. Warum sind wir sicher, dass das resultierende System die gleiche Lösung haben wird? Nun, ein x-y-Paar, das die beiden Gleichungen erfüllt, das wäre eine Lösung, für dieses x-y-Paar wäre x+2y gleich -1. für dieses X-Y-Paar ist x+2y gleich -1. Für diese Lösung addieren wir auf beiden Seiten das Gleiche. Wir sagen: "Schau, wir addieren x+2y zur rechten Seite". Wir sagen: "Schau, wir addieren x+2y zur rechten Seite". "Und wenn ich die Lösung nicht ändern will, "muss ich das Gleiche auf der rchten Seite addieren." Hier steht, für die Lösung dieser Gleichung ist x + 2y gleich -1 -1 ist also das Gleiche wie x+2y bei dieser Lösung, -1 ist also das Gleiche wie x+2y bei dieser Lösung, Wir ändern also nichts an der Lösung des Systems, Der Rechenvorgang von Vivek ist also ganz korrekt, nämlich die linken Seiten zu addieren und die rechten Seiten zu addieren, um diese neue Gleichung zu bekommen. Das ändert nichts an der Lösung des Systems. Diese Technik verwenden wir tatsächlich oft, um die Lösung eines Systems zu finden. Schauen wir jetzt Camila's System an. Ihre erste Gleichung ist genau die gleiche, wie die zweite Gleichung des Lehrers. Und ihre zweite Gleichung wie verhält sie sich vielleicht zur ersten Gleichung? Auf den ersten Blick sieht es aus, als hätte sie beide Seiten mit einer Zahl multipliziert. Sie hat die rechte Seite mit -8 multipliziert. Sie hat die rechte Seite mit -8 multipliziert. Also mal -8 . - 1 mal -8 ist gleich +8 . Es sieht so aus, als hätte sie auch die linke Seite mit -8 multipliziert. -8 mal x ist -8x -8 mal 2y ist -16y. Sie halt also beide Seiten mit dem gleichen Wert multipliziert, was an der Gleichung nichts ändert. Das wird also - - es ändert das Aussehen, aber es stellt die gleiche Zeile dar. Es ist also eindeutig ein äquivalentes System geblieben. Es gelten noch die gleichen Beschränkungen. Du wirst die gleiche Lösung bekommen. Wann immer du mit Systemen zu tun hast, du änderst nichts an der Lösung des Systems, solange du entweder beide Seiten der Gleichung mit einem Zähler multiplizierst oder die Gleichungen addierst oder subtrahierst. Wenn ich sage, Gleichungen addieren oder subtrahieren, dann addierst du die linke Seite zur linken Seite, addierst die rechte Seite zur rechten Seite, wie hier. Oder die Eine von der Anderen subtrahieren, wenn wir die Untere von der Oberen subtrahieren, auf der linken Seite, und wir subtrahieren die Untere von der Oberen auf der rechten Seite, dann wird das nichts an der Lösung ändern. Also haben beide ein äquivalentes System erhalten, was bedeutet, dass es die gleiche Lösung hat wie das System des Lehrers.