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Algebra 1
Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 9
Lesson 2: Äquivalente Systeme von Gleichungen und das Additionsverfahren- Gleichungssysteme mit Eliminierung: Des Königs Kuchen
- Gleichungssystem mit Eliminierung: x-4y=-18 & -x+3y=11
- Gleichungssystem mit Eliminierung
- Gleichungssysteme mit Eliminierung: Kartoffelchips
- Gleichungssysteme mit Eliminierung (und Veränderung)
- Herausforderung zu Gleichungssystemen mit Eliminierung
- Warum können wir eine Gleichung in einem Gleichungssystem von der anderen subtrahieren?
- Beispielübung: Äquivalente Gleichungssysteme
- Beispielübung: Nicht-äquivalente Gleichungssysteme
- Mit Gleichungssystemen rechnen
- Eliminierungsverfahren - Wiederholung (Gleichungssysteme)
- Äquivalente Gleichungssysteme - Wiederholung
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Äquivalente Gleichungssysteme - Wiederholung
Zwei Gleichungssysteme sind äquivalent, wenn sie die gleiche(n) Lösung(en) haben. Dieser Artikel wiederholt, wie man feststellt, ob zwei Systeme äquivalent sind.
Gleichungsysteme, die die gleiche Lösung haben, werden äquivalente Systeme genannt.
Haben wir ein System mit zwei Gleichungen gegeben, können wir ein äquivalentes System erzeugen, indem wir eine Gleichung durch die Summe der zwei Gleichungen ersetzen, oder indem wir eine Gleichung durch ein Vielfaches von ihr ersetzen.
Im Gegensatz dazu können wir sicher sein, dass zwei Gleichungssysteme nicht äquivalent sind, wenn wir wissen, dass eine Lösung der einen keine Lösung der anderen ist.
Beachte: Die Idee von äquivalenten Gleichungssystemen tritt später bei "Linearer Algebra" wieder auf. Die Beispiele und Erklärungen in diesem Artikel sind aber auf einen Algebra-Kurs im Gymnasium abgestimmt.
Beispiel 1
Wir haben zwei Gleichungssysteme und sollen bestimmen, ob sie äquivalent sind.
| Gleichungssystem A | Gleichungssystem B |
|---|---|
Wenn wir die zweite Gleichung bei System B mit 3 multiplizieren, erhalten wir:
Ersetzen wir die zweite Gleichung von System B mit dieser neuen Gleichung, erhalten wir ein äquivalentes System:
Wow! Schau dir das an! Diese System ist das gleiche wie System A, was bedeutet, dass System A äquivalent zu System B ist,
Willst du mehr über die äquivalente Gleichungssysteme lernen? Schau dir dieses Video an.
Beispiel 2
Wir haben zwei Gleichungssysteme und sollen bestimmen, ob sie äquivalent sind.
| Gleichungssystem A | Gleichungssystem B |
|---|---|
Interessant, wenn wir die Gleichungen in System A summieren, erhalten wir:
Ersetzen wir die erste Gleichung von System A mit dieser neuen Gleichung, erhalten wir ein System, das äquivalent zu System A ist:
Siehe da! Dies ist System B, was bedeutet, dass System A äquivalent zu System B ist.
Beispiel 3
Wir haben zwei Systeme gegeben und sollen beweisen, dass sie nicht äquivalent sind, indem wir eine Lösung einer Gleichung finden, die keine Lösung der anderen ist.
| Gleichungssystem A | Gleichungssystem B |
|---|---|
Beobachte, dass x und y in den zweiten Gleichungen von beiden System gleich sind. Der konstante Term ist aber bei den zwei Gleichungen verschieden!
Egal welches Wertepaar für x und y genommen wird, das für System A wahr ist, macht System B falsch, und umgekehrt.
Zum Beispiel ist x, equals, 1, y, equals, 1 eine Lösung der zweiten Gleichung von System A, aber es ist keine Lösung der zweiten Gleichung von System B.
Gleichungssystem A und Gleichungssystem B sind nicht äquivalent.
Willst du mehr über nicht-äquivalente Gleichungssysteme lernen? Schau dir dieses Video an
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