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Video-Transkript

Mohamed möchte abbilden, wie viele Blätter der Baum in seinem Garten jedes Jahr hat. Im ersten Jahr waren es 500 Blätter. In jedem folgenden Jahr war die Anzahl der Blätter um 40% größer als im Vorjahr. n sei eine positive ganze Zahl und f von n bezeichne die Anzahl an Blättern am Baum in Mohameds Garten im n-ten Jahr seit er seine Aufzeichnung begann. Der Ausdruck f von n definiert eine Folge. Was für eine Art Folge ist f von n? Einige von Euch machen sich dazu veilleicht schon Gedanken. Jedes Jahr wachsen wir um 40 Prozent. das ist das Gleiche wie Multiplizieren mit 1,4. Jede folgende Periode multiplizieren wir mit oder dividieren wir durch die gleiche Zahl. Dann handelt es sich um eine geometrische Folge. Machen wir das noch etwas konkreter, sicherheitshalber. Machen wir das noch etwas konkreter, sicherheitshalber. Machen wir hier ein kleine Tabelle. Machen wir hier ein kleine Tabelle. Das ist n und das ist f von n. Wenn n 1 ist, im ersten Jahr ist n 1, da gab es 500 Blätter. f von n ist 500. Wenn n gleich 2 ist, werden wir um 40% wachsen, und das ist das Gleiche wie mal 1,4 multiplizieren. 500 mal 1,4 nehmen wir 40% von 500 wir wachsen also um 200, und steigen dabei auf 700 Dann im dritten Jahr wachsten wir um 40% von 700 das sind 280, also wachsen wir auf 980. Du siehst schon, das ist sicher keine arithmetische Folge. Bei einer arithmetischen Folge würden wir jedes Mal den gleichen Betrag addieren oder subtrahieren Aber das machen wir hier nicht. Hier wachsen wir von 500 auf 700, um 200, und dann von 700 auf 980, sind wir um 280 gewachsen. Stattdessen multiplizieren oder dividieren wir jedes Mal mit dem gleichen Betrag. In diesem Fall multiplizieren wir jedes Mal mit 1,4. In diesem Fall multiplizieren wir jedes Mal mit 1,4. Das ist ganz klar geometrisch. Je nach deiner Antwort oben kann die rekursive Definition der Folge eine der folgenden Formen haben. Je nach deiner Antwort oben kann die rekursive Definition der Folge eine der folgenden Formen haben. Je nach deiner Antwort oben kann die rekursive Definition der Folge eine der folgenden Formen haben. Das ist die arithmetische Form, von der wir wissen, dass sie es nicht ist, also wird es die geometrische Form sein. Und dann lautet die Frage: Welche Werte nehmen die Parameter A und B in dieser Folge an? Das hier ist unser Basisfall, f von n wird hier gleich A, wenn n 1 ist. Wir wissen, als n gleich 1 war, hatten wir 500 Blätter am Baum, dieses A ist also 500. und wenn wir nicht beim Basisfall sind, in jedem anderen Jahr In jedem andern Jahr haben wir das Vorjahr mal was? Das Vorjahr gewachsen um 40%. Um 40% zu wachsen, multiplizieren wir mit 1,4 B wird also 1,4 sein. Du nimmst das Vorjahr und multiplizierst es mit 1,4 für jedes andere Jahr, jedes Jahr, in dem n ungleich 1 ist. B ist also gleich 1,4 und wir haben das erledigt. Machen wir noch ein Beispiel. Das macht sonderbarerweise Spaß. Ok. Hier heißt es: Seo-Yun veranstaltete eine Party. Sie hatte 50 Partygeschenke zu vergeben, und sie gab jedem ihrer Gäste drei Geschenke als sie zur Party kamen. Sie hatte 50 Partygeschenke zu vergeben, und sie gab jedem ihrer Gäste drei Geschenke als sie zur Party kamen. Sie hatte 50 Partygeschenke zu vergeben, und sie gab jedem ihrer Gäste drei Geschenke als sie zur Party kamen. n sei eine positive Ganzzahl, und g von n beschreibt die Anzahl an Partygeschenken, die Seo-Yun hatte, ehe der n-te Gast ankam. Hier möchte ich, noch bevor ich die Fragen anschaue, eine Tabelle machen, weil sie sagen, vor dem n-ten Gast. Ich möchte sicher sein, dass ich das richtig verstehe. Das ist n und das wird g von n. und das wird g von n. Wenn n gleich 1 ist, Wenn n gleich 1 ist, dann wird g von n dann wird g von 1 die Anzahl Partygeschenke sein, die Seo-Yun vor dem ersten Gast hatte. Gut, vor dem ersten Gast hatte sie 50 Partygeschenke Sie hatte 50 Partygeschenke. Jetzt kommt der zweite Gast. Die Anzahl an Partygeschenken, die sie vor dem 2. Gast hatte, nun, sie gab der ersten Gast 3, also muss sie noch 47 Partygeschenke haben. Dann, wenn n gleich 3 wird, wie viele Partygeschenke hatte sie vor dem dritten Gast? Nun, sie müsste dem ersten und dem zweiten Gast Geschenke gegeben haben, jeder bekam 3, also hätte sie noch 44, und ich denke ihr erkennt das Muster. Wenn n gleich 1 ist, ist g(n) gleich 50, und jedes Mal, wenn wir n um 1 erhöhen, jedes Mal, wenn wir n erhöhen, reduzieren wir g(n) um 3, weil sie Partygeschenke hergibt, minus 3. Minus 3. Weil die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen gleichgroß ist, wissen wir, das ist eine arithmetische Folge. Das ist eine arithmetische Folge, und dass sagen sie, schreib eine explizite Formel für die Folge. Überlegen wir uns das g von n ist gleich ... beginnen wir mit 50, dann subtrahieren wir 3, überlegen wir, subtrahieren wir 3 mal n, oder ... Mal sehen, für den ersten Gast subtrahieren wir 3 mal Null. für den zweiten Gast subtrahieren wir 1 mal 3. für den dritten Gast subtrahieren wir 2 mal 3. Für den n-ten Gast subtrahieren wir 3 (n - 1) Für den dritten Gast haben wir 2 mal 3 subtrahiert. Für den zweiten Gast haben wir 1 mal 3 subtrahiert Erster Gast, 0 mal 3 subtrahiert. Das funktioniert. Für den ersten Gast subtrahieren wir 3 mal 0, damit g von 1 gleich 50 ist. Wir sehen, das stimmt für alle hier. Also könnte ich schreiben, 50 minus 3 mal n minus 1 und ich empfehle hier wirklich eine Tabelle, so stellst du sicher, dass du die n minus 1 oder die n richtig bekommst und alles zusammenpasst.