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Rekursive Formeln für geometrische Folgen verwenden

Video-Transkript

Gegeben ist die geometrische Sequenz a an der Stelle i, welche durch die Formel definiert ist , wobei der erste Term a1 gleich - 1/8 ist. welche durch die Formel definiert ist , wobei der erste Term a1 gleich - 1/8 ist. Jeder Term danach ist so definiert , dass a an der Stelle i das Zweifache des Terms davor ist. A an der Stelle i ist zwei mal a an der Stelle (i-1). Was ist a4, der 4. Term in dieser Sequenz? Halte das Video an und schau, ob Du das herausfinden kannst. Es gibt mehrere Wege, auf denen Du dies angehen kannst. Ein Weg ist, diese Formeln direkt anzuwenden. Wir könnten sagen, dass a4 genau der Fall hier ist. Wir könnten sagen, dass a4 genau der Fall hier ist. a4 ist gleich 2 mal a3. a3 wiederum ist gleich 2 mal a2. a3 wiederum ist gleich 2 mal a2. Jeder Term ist gleich 2 mal dem vorangegangenen Term. Dann kommen wir wieder zu dieser Formel zurück. A2 is gleich 2 mal a1. A2 is gleich 2 mal a1. Glücklicherweise wissen wir, dass a1 gleich - 1/8 ist. Also erhalten wir 2 mal -1/8, was wiederum gleich -1/4 ist. was wiederum gleich -1/4 ist. was wiederum gleich -1/4 ist. 2 mal -1/4 ist gleich -2/4 oder -1/2. 2 mal -1/4 ist gleich -2/4 oder -1/2. a4 ist 2 mal a3. a3 is gleich -1/2. Also ergibt dies 2 mal -1/2, was -1 ergibt. Das ist ein Weg, die Aufgabe zu lösen. Ein anderer Weg ist folgender: Wir haben unseren Ausgangs-Term. Wir kennen ebenso unser gemeinsames Verhältnis. Wir wissen, dass jeder Folge-Term das Zweifache des vorangegangenen Terms ist. Wir wissen, dass jeder Folge-Term das Zweifache des vorangegangenen Terms ist. Wir können also sagen, dass dies eine rekursive Definition unserer geometrischen Serie ist. Wir können also sagen, dass dies eine rekursive Definition unserer geometrischen Serie ist. Wir können es schreiben als a an der Stelle i gleich dem Ausgangsterm -1/8 Wir können es schreiben als a an der Stelle i gleich dem Ausgangsterm -1/8 multipliziert mit 2. Wir multiplizieren es mit 2 mal i minus 1. Anders gesagt: mal 2 hoch i minus hoch 1. Lasst uns sicherstellen, dass das sinnvoll ist. a1 ist gemäß dieser Formel -1/8 mal 2 hoch 1 minus 1. a1 ist gemäß dieser Formel -1/8 mal 2 hoch 1 minus 1. a1 ist gemäß dieser Formel -1/8 mal 2 hoch 1 minus 1. 2 hoch 0. Das macht Sinn. Das wäre -1/8. Basierend auf dieser Formel wäre a2 minus 1/8 mal 2 hoch 2-1. Basierend auf dieser Formel wäre a2 minus 1/8 mal 2 hoch 2-1. Basierend auf dieser Formel wäre a2 minus 1/8 mal 2 hoch 2-1. 2 hoch 1. Wir nehmen unseren Ausgangs-Term und multiplizieren ihn mit 2, einmal. Das ist ganz richtig. a2 ist -1/4. Wir möchten den vierten Term in der Sequenz finden. Wir könnten also die Formel benutzen. a4 ist gleich -1/8 mal 2 hoch 4-1. a4 ist gleich -1/8 mal 2 hoch 4-1. 2 hoch 4 minus 1. Das ist also gleich -1/8 mal 2 hoch 3. Das ist also gleich -1/8 mal 2 hoch 3. Das ist -1/8 mal 8. -1/8 mal 8 ergibt -1. Du fragst Dich vielleicht, welche Methode die bessere ist. Du fragst Dich vielleicht, welche Methode die bessere ist. Die 2. Methode, wo wir eine Formel haben, ist einfacher. wenn wir den Ausgangs-Term kennen und wenn wir das gemeinsame Verhältnis kennen. und wenn wir das gemeinsame Verhältnis kennen. Stell Dir vor, wir suchen den 40sten Term. Die erste Methode wo wir rekursiv vorgehen, würde jede Menge Zeit erfordern - und auch jede Menge Papier.