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Benutzen von Formeln für arithmetische Folgen

Video-Transkript

In Ordnung, die arithmetische Folge a_i wird durch eine Formel definiert, bei der der i-te Term der Folge 4 plus 3 mal i minus 1 ist. 4 plus 3 mal in Klammern i minus 1 ist. Was ist a_20? a_20 ist der 20.Term der Folge. Stoppe das Video und versuche, selber herauszufinden, was der 20. Term der Folge ist. Wir könnten das auch so ausdrücken: Überall dort, wo wir ein i sehen, setzen wir 20 ein. Überall dort, wo wir ein i sehen, setzen wir 20 ein. Dann ist 4 plus 3 mal 20 minus 1. Noch einmal: Überall dort, wo wir ein i sehen, setzen wir 20 ein. Überall dort, wo wir ein i sehen, setzen wir 20 ein. und jetzt können wir das Ergebnis berechnen. Das ist gleich Das ist gleich 4 plus 3 mal-- 20 minus 1, das ist 19. 3 mal 19, mal sehen, 3 mal 19 ist 57, nicht wahr? 30 plus 27, yep. Das ist 57, und 4 und 57 ist gleich 61. Der 20. Term in dieser arithmetische Folge wird 61 sein. Wir machen noch eine Aufgabe. a_i ist definiert durch die Formel a_i ist definiert durch die Formel a_1. a_1 ist das erste Glied, und jeder weitere Term wird in Bezug auf den vorherigen definiert. a_i wird zu a_i minus 1 minus 2. Damit ist dies eigentlich eine rekursive Definition von der arithmetischen Folge. Lassen mal sehen, was wir daraus machen. a_5, a_5 wird gleich-- wir werden diese zweite Zeile verwenden-- a_5 wird gleich a_4 minus 2. Nun, wir wissen noch nicht, was a_4 ist. Also wollen wir versuchen, das herauszufinden. Du könntest sagen, dass a_4 gleich-- gut, wenn wir die zweite Zeile wieder verwenden-- dann ist a_4 gleich a_3 minus 2 sein. Wir wissen immer noch nicht, was a_3 ist. Ich wechsele hier die Farben. a_3 wird gleich a_3 minus 1, also a_2 minus 2. Wir wissen immer noch nicht, was a_2 ist, daher schreiben wir: a_2 ist gleich -1. a_2 ist gleich -1. a_3 ist gleich a_1 minus 2. Nun wissen wir zum Glück, was a_1 ist. a_1 ist -7. a_1 ist -7. a_1 ist -7. Dann ist a_2 gleich -7 minus 2, gleich -9. Nun, das hilft uns, denn wenn a_2 gleich -9 ist, denn wenn a_2 gleich -9 ist, dann ist a_3 gleich -9 minus 2, und das ist gleich -11. Nun wissen wir, dass a_3 gleich -11 ist. a_3 ist -11. Wir haben herausgefunden, dass a_4 gleich -11 ist. -11 minus 2, ist gleich -13. Wir sind fast da. Wir wissen, dass a_4, der vierte Term in dieser arithmetische Folge, -13 ist. Damit, wenn dieser Ausdruck -13 ist, Wenn dieser Ausdruck -13 ist, dann ist a_5 gleich a_4 -- und das ist -13 minus 2, und das ist gleich -15. Der fünfte Term der Folge ist -15. Und damit sind wir fertig.