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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 8

Lektion 1: Einführung in arithmetische Folgen
Mathematik
Algebra 1
Folgen
Einführung in arithmetische Folgen
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Einführung in Formeln für arithmetische Folgen

Google Classroom
Mache dich vertraut mit den Grundlagen von expliziten und rekursiven Formeln für arithmetische Folgen.
Bevor du dir diese Lektion vornimmst, sei dir sicher, dass du die Grundlagen von arithmetischen Folgen kennst und einige Erfahrung hast mit Funktionen auswerten und dem Definitionsbereich einer Funktion.

Was ist eine Formel?

Wir sind gewohnt arithmetische Folgen so zu beschreiben:
3,5,7,…
Aber es gibt andere Möglichkeiten. In dieser Lektion lernen wir zwei neue Wege lernen arithmetische Folgen darzustellen: Rekursive Formeln und Eindeutige Formeln. Formeln geben uns Anleitungen wie wir jeden Term einer Folge ermitteln.
Um im Allgemeinen zu bleiben benutzen Formeln n um eine beliebige Termnummer darzustellen und a(n) um den n. Term der Folge darzustellen. Zum Beispiel sind hier die ersten Terme der arithmetischen Folge 3, 5, 7, ...
na(n)
(Die Termnummer)(Der n. Term)
13
25
37
Wir erwähnten oben, dass Formeln uns Anweisungen geben wie wir einen beliebigen Term einer Folge ermitteln. Nun können wir dies wie folgt umformulieren: Formeln sagen uns wie a(n) für jedes mögliche n ermitteln.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Bestimme a(4) der Folge 3, 5, 7, ...
a(4)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

2) Für eine beliebige Termzahl n, was stellt a(n−1) dar?
Wähle eine Lösung.

Rekursive Formeln für arithmetische Folgen

Rekursive Formeln geben uns zwei Informationen:
  1. Der erste Term einer Folge
  2. Die Schema-Regel um jeden Term in einer Folge von dem Term der davor kommt, zu erhalten
Hier ist die rekursive Formel unserer Folge 3, 5, 7, ... zusammen mit der Interpretation für jeden Teil.
{a(1)=3←Der erste Term ist drei.a(n)=a(n−1)+2←Addiere zwei zu dem vorherigen Term.
Um den fünften Term zu ermitteln, zum Beispiel, müssen wir die Folge Term für Term erweitern:
a(n)=a(n−1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
Cool! Diese Formel gibt uns die gleiche Folge an, wie durch 3, 5, 7, ... beschrieben

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Nun bist du an der Reihe die Terme von Folgen herauszufinden, indem du deren rekursive Formeln benutzt.
Gerade wie wir a(n) benutzten, um den n. Term der Folge 3, 5, 7, ..., darzustellen, können wir die anderen Buchstaben benutzen, um andere Folgen darzustellen. Zum Beispiel können wir b(n), c(n), oder d(n) benutzen.
3) Bestimme b(4) in der Folge, die gegeben ist durch {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9
b(4)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

4) Bestimme c(3) in der Folge, die gegeben ist durch {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17
c(3)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

5) Bestimme d(5) in der Folge, die gegeben ist durch {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4
d(5)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Explizite Formeln für arithmetische Folgen

Hier ist eine eindeutige Formel von 3, 5, 7, ...
a(n)=3+2(n−1)
Dies Formel erlaubt uns einfach die Zahl des Term einzusetzen, von der wir glauben, dass wir den Wert dieses Terms erhalten.
Um den fünften Term zu ermitteln müssen wir zum Beispiel n=5 in die eindeutige Formel einsetzen.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Siehe da, wir erhalten das gleiche Ergebnis wie vorher!

Überprüfe, ob du es verstanden hast

6) Bestimme b(10) in der Folge, die gegeben ist durch b(n)=−5+9(n−1) .
b(10)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

6) Bestimme c(8) in der Folge, die gegeben ist durch c(n)=20−17(n−1).
c(8)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

6) Bestimme d(21) in der Folge, die gegeben ist durch d(n)=2+0,4(n−1).
d(21)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Folgen sind Funktionen

Beachte, dass die Formeln, die wir in dieser Lektion benutzten wie Funktionen funktionieren: Wir geben eine Termnummer n ein und die Formel gibt den Wert dieses Term a(n) aus
Folgen sind in der Tat als Funktionen definiert. Aber n kann kein beliebiger reeller Zahlwert sein. Es gibt nicht so etwa wie der Minus fünfte Term oder der 0,4. Term einer Folge.
Dies bedeutet, dass der Definitionsbereich von Folgen - welcher eine Reihe von allen möglichen Werte der Funktion ist - der von positive ganze Zahlen ist.

Eine Bemerkung über die Schreibweise

Wir haben a(4) zum Beispiel geschrieben, um den vierten Term darzustellen, aber andere Quellen schreiben a4.
Beide Schreibweisen sind gut zu benutzen. Wie bevorzugen a(4), weil dies hervorhebt, dass Folgen Funktionen sind.

Eine Frage zum Nachdenken

9) Welche Art von Formel ist hilfreicher für das schnelle Bestimmen des 100. Terms einer arithmetischen Folge?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgabe

10) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist f(n)=3−4(n−1).
Welcher Term der Folge ist gleich -65?
Termzahl
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
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